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第109頁

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(1)因為$AB$為$\odot O$直徑，所以$\angle ACB = 90^{\circ}。$在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 10cm，$$BC = 6cm，$根據(jù)勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8cm。$連接$BD，$因為$AB$是直徑，所以$\angle ADB = 90^{\circ}。$$D$是$\angle ACB$的平分線與$\odot O$的交點，所以$\angle ACD=\angle BCD = 45^{\circ}，$根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得$\angle DAB=\angle BCD = 45^{\circ}。$在$Rt\triangle ABD$中，$\angle DAB = 45^{\circ}，$則$\angle ABD = 45^{\circ}，$所以$AD = BD。$由勾股定理$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}，$即$10^{2}=2AD^{2}，$解得$AD = 5\sqrt{2}cm。$
(2)直線$PC$與$\odot O$相切。理由如下：連接$OC。$因為$OC = OA，$所以$\angle OAC=\angle OCA。$由
(1)知$\angle CAD = 45^{\circ}，$設$\angle CAE = \alpha，$則$\angle OAC=\angle OCA = 45^{\circ}-\alpha。$在$\triangle ACE$和$\triangle PCE$中，$PC = PE，$所以$\angle PEC=\angle PCE。$又因為$\angle PEC=\angle CAE+\angle ACE=\alpha + 45^{\circ}，$$\angle PCE=\angle PCO+\angle OCA，$所以$\angle PCO=\angle PEC-\angle OCA=\alpha + 45^{\circ}-(45^{\circ}-\alpha)=2\alpha。$則$\angle OCP=\angle PCO+\angle OCA=2\alpha + (45^{\circ}-\alpha)=\alpha + 45^{\circ}。$因為$\angle OAC+\angle CAE+\angle ABC = 90^{\circ}$（$\angle ABC$為$Rt\triangle ABC$的銳角），而$\angle OCA=\angle OAC，$所以$\angle OCP = 90^{\circ}，$即$OC\perp PC。$因為$OC$是$\odot O$的半徑，所以直線$PC$與$\odot O$相切。
$(1)$ 證明 $OD\perp DE$
解(證明)：
連接 $BD$，
因為 $AB$ 是$\odot O$的直徑，所以$\angle ADB = \angle BDC=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BDC$中，$E$為$BC$的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理：
直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，所以$DE = BE = CE$，則$\angle EDB=\angle EBD$。
又因為$OD = OB$，所以$\angle ODB=\angle OBD$。
那么$\angle ODE=\angle ODB+\angle EDB=\angle OBD+\angle EBD=\angle ABC$。
已知$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle ODE = 90^{\circ}$，即$OD\perp DE$。
$(2)$ 求陰影部分的面積
解：
已知$AB = 12$，則$OA=OD=\frac{1}{2}AB = 6$。
因為$\angle BAC = 30^{\circ}$，$\angle AOD$與$\angle BAC$所對的弧都是$\overset{\frown}{AD}$，根據(jù)圓周角定理：
一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半 ，所以$\angle AOD = 2\angle BAC=60^{\circ}$。
過點$D$作$DF\perp AB$于點$F$，在$Rt\triangle ODF$中，$\sin\angle AOD=\frac{DF}{OD}$，
則$DF = OD\sin60^{\circ}=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$；$\cos\angle AOD=\frac{OF}{OD}$，則$OF = OD\cos60^{\circ}=6×\frac{1}{2}=3$。
${S}_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}× OA× DF=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
扇形$AOD$的面積${S}_{扇形AOD}=\frac{n\pi{r}^{2}}{360}$（$n$是圓心角度數(shù)，$r$是半徑），
這里$n = 60^{\circ}$，$r = 6$，所以${S}_{扇形AOD}=\frac{60\pi×6^{2}}{360}=12\pi$。
陰影部分面積$S = {S}_{扇形AOD}-{S}_{\triangle AOD}=12\pi - 9\sqrt{3}$。
綜上，$(1)$ 證明如上；$(2)$ 陰影部分面積為$\boldsymbol{12\pi - 9\sqrt{3}}$。
設拱橋所在圓的圓心為O，半徑為R m。連接OA、OD，OD交AB于點D。
因為CD為拱高，所以OD垂直于AB，AD = AB/2 = 6 m。
設OD = x m，則OC = R m，CD = 4 m，所以OD = OC - CD = R - 4，即x = R - 4。
在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2，即R2 = 62 + (R - 4)2。
展開得R2 = 36 + R2 - 8R + 16，化簡得8R = 52，解得R = 6.5。
答：拱橋所在圓的半徑為6.5 m。
【答案】：
(1) 見證明；(2) $12π$。

【解析】：
(1) 證明：
∵AB為⊙O直徑，∴O為AB中點，OA=OD，∠ADB=90°（直徑所對圓周角為直角）。
∴∠OAD=∠ODA。設∠OAD=α，則∠ODA=α。
∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°-α。
∵E為BC中點，∠BDC=90°（∠ADB=90°），∴DE=BE=CE（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半）。
∴∠EBD=∠EDB。
∵∠ABD=90°-α（△ABD中∠ADB=90°），∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=α，即∠EBD=α，∴∠EDB=α。
∵A、D、C共線，∴∠ODC=180°-∠ODA=180°-α。
∠EDC=∠ACB=90°-α（DE=CE）。
∴∠ODE=∠ODC-∠EDC=(180°-α)-(90°-α)=90°。
∴OD⊥DE。
(2) 解：
∵∠BAC=30°，AB=12，∴⊙O半徑OA=OD=6。
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=30°，∠AOD=180°-30°-30°=120°。
陰影部分為扇形OAD，面積S= $\frac{120}{360}π×6^2=12π$。
(1)
因為$AB$為$\odot O$直徑，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 10cm$，$BC = 6cm$，根據(jù)勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8cm$。
連接$BD$，因為$AB$是直徑，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。
$D$、$E$分別是$\angle ACB$的平分線與$\odot O$、$AB$的交點，所以$\angle ACD=\angle BCD = 45^{\circ}$，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得$\angle DAB=\angle BCD = 45^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle DAB = 45^{\circ}$，$\angle ABD = 45^{\circ}$，則$AD = BD$。
由勾股定理$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$，即$10^{2}=2AD^{2}$，解得$AD = 5\sqrt{2}cm$。
(2)
連接$OC$。
因為$OC = OA$，所以$\angle OAC=\angle OCA$。
由(1)知$\angle CAD = 45^{\circ}$，所以$\angle OAC=\angle OCA = 45^{\circ}-\angle CAE$（設$\angle CAE$為$\alpha$），則$\angle COP = 2\angle CAE$（同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍）。
在$\triangle ACE$和$\triangle PCE$中，$PC = PE$，所以$\angle PEC=\angle PCE$。
又因為$\angle PEC=\angle CAE+\angle ACE=\angle CAE + 45^{\circ}$，$\angle PCE=\angle PCO+\angle OCA$。
$\angle OCA=\angle OAC$，$\angle PCO=\angle PEC-\angle OCA=\angle CAE + 45^{\circ}-\angle OCA$。
$\angle OCP=\angle PCO+\angle OCA=\angle CAE + 45^{\circ}$。
$\angle OAC+\angle CAE+\angle ACO = 90^{\circ}$，$\angle OCA=\angle OAC$，所以$\angle OCP = 90^{\circ}$，即$OC\perp PC$。
因為$OC$是$\odot O$的半徑，所以直線$PC$與$\odot O$相切。
綜上，(1)$AC = 8cm$，$AD = 5\sqrt{2}cm$；(2)直線$PC$與$\odot O$相切。
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