(1) 在$\triangle AOC$中，$OA=OC=4$（半徑相等），所以$\triangle AOC$是等腰三角形。已知$\angle OAC=60^\circ，$根據(jù)等腰三角形兩底角相等及三角形內(nèi)角和為$180^\circ，$可得$\angle AOC=180^\circ - 2\times60^\circ=60^\circ。$
(2) 因為$CP$與$\odot O$相切，所以$OC\perp CP，$即$\angle OCP=90^\circ。$由
(1)知$\angle AOC=60^\circ，$則$\angle POC=180^\circ - 60^\circ=120^\circ$（平角定義）。在$Rt\triangle OCP$中，$\cos\angle POC=\frac{OC}{PO}，$即$\cos120^\circ=\frac{4}{PO}。$因為$\cos120^\circ=-\frac{1}{2}，$所以$-\frac{1}{2}=\frac{4}{PO}，$解得$PO=-8$（長度不能為負，取絕對值），故$PO=8。$
(3) 已知$\triangle CAO$的面積，$OA=OC=4，$$\angle AOC=60^\circ，$其面積$S_{\triangle CAO}=\frac{1}{2}\times OA\times OC\times\sin\angle AOC=\frac{1}{2}\times4\times4\times\sin60^\circ=4\sqrt{3}。$
對于$\triangle MAO，$$OA=OM=4$（半徑），設(shè)$\angle AOM=\theta，$則其面積$S_{\triangle MAO}=\frac{1}{2}\times OA\times OM\times\sin\theta=8\sin\theta。$令$8\sin\theta=4\sqrt{3}，$得$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}，$所以$\theta=60^\circ$或$120^\circ$或$240^\circ$或$300^\circ$（因為動點$M$在圓上運動一周，需考慮所有可能角度）。
因為圓的半徑為$4，$弧長公式為$l=\frac{n\pi r}{180^\circ}$（$n$為圓心角度數(shù)）。
當(dāng)$\theta=60^\circ$時，弧長$l_1=\frac{60^\circ\pi\times4}{180^\circ}=\frac{4\pi}{3}；$
當(dāng)$\theta=120^\circ$時，弧長$l_2=\frac{120^\circ\pi\times4}{180^\circ}=\frac{8\pi}{3}；$
當(dāng)$\theta=240^\circ$時，弧長$l_3=\frac{240^\circ\pi\times4}{180^\circ}=\frac{16\pi}{3}；$
當(dāng)$\theta=300^\circ$時，弧長$l_4=\frac{300^\circ\pi\times4}{180^\circ}=\frac{20\pi}{3}。$
綜上，動點$M$所經(jīng)過的弧長為$\frac{4\pi}{3}，$$\frac{8\pi}{3}，$$\frac{16\pi}{3}，$$\frac{20\pi}{3}。$
