$(1)$ 證明$AC$是$\odot O$的切線(xiàn)
- 連接$OA$，因?yàn)?BE$是$\odot O$的直徑，所以$\angle BAE = 90^{\circ}$，
即$\angle OAE+\angle OAB = 90^{\circ}$。
- 又因?yàn)?OA = OE$，所以$\angle OAE=\angle OEA$。
- 由于$\angle OEA$與$\angle EDA$所對(duì)的弧都是$\overset{\frown}{AD}$，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，
可得$\angle OEA=\angle EDA$。
- 已知$\angle EAC=\angle EDA$，所以$\angle OEA=\angle EAC$。
- 那么$\angle OAC=\angle EAC+\angle OAE=\angle OEA+\angle OAE = 90^{\circ}$，即$OA\perp AC$。
- 又因?yàn)?OA$是$\odot O$的半徑，所以$AC$是$\odot O$的切線(xiàn)。
$(2)$ 求陰影部分的面積
- 因?yàn)?CE = AE = 2\sqrt{3}$，所以$\angle C=\angle CAE$。
- 又因?yàn)?\angle OEA=\angle EAC$，所以$\angle OEA = \angle C$。
- 設(shè)$\odot O$的半徑為$r$，在$Rt\triangle OAC$中，$\angle OAC = 90^{\circ}$，$\tan\angle C=\frac{OA}{AC}$。
- 由$\angle OEA = \angle C$，$OA = r$，$OE = r$，$CE = 2\sqrt{3}$，$AC = 2\sqrt{3}$，
根據(jù)正弦函數(shù)$\sin\angle OEA=\frac{OA}{OE + CE}$，因?yàn)?\angle OEA = \angle C$，
$\angle OAC = 90^{\circ}$，$\angle AOE = 2\angle C$（圓心角是圓周角的$2$倍）。
- 又因?yàn)?\angle OEA=\angle EAC$，$\angle AOE+\angle OEA+\angle OAE = 180^{\circ}$，
$\angle OAE+\angle EAC = 90^{\circ}$，可得$\angle AOE = 60^{\circ}$。
- 已知$AE = 2\sqrt{3}$，在$\triangle AOE$中，$OA = OE$，$\angle AOE = 60^{\circ}$，
所以$\triangle AOE$是等邊三角形，則$OA=AE = 2\sqrt{3}$。
- 陰影部分的面積$S_{陰影}=S_{\triangle AOE}-S_{扇形AOE}$。
$S_{\triangle AOE}=\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^{2}= 3\sqrt{3}$。
$S_{扇形AOE}=\frac{60\pi×(2\sqrt{3})^{2}}{360}= 2\pi$。
所以$S_{陰影}=2\pi-3\sqrt{3}$
綜上，$(1)$ 已證$AC$是$\odot O$的切線(xiàn)；$(2)$ 陰影部分的面積為$\boldsymbol2\pi-3\sqrt{3}$。
