設(shè)經(jīng)過$ t $秒，$\triangle AMN$的面積等于矩形$ABCD$面積的$\frac{1}{9}$。
矩形$ABCD$面積：$AB × BC = 3 × 6 = 18 \, cm^2$，則$\triangle AMN$面積需為$18 × \frac{1}{9} = 2 \, cm^2$。
由題意：
動(dòng)點(diǎn)$M$的速度為$1 \, cm/s$，則$AM = t \, cm$；
動(dòng)點(diǎn)$N$的速度為$2 \, cm/s$，則$DN = 2t \, cm$，$AN = AD - DN = 6 - 2t \, cm$（$AD = BC = 6 \, cm$）。
$\triangle AMN$為直角三角形（$\angle A = 90°$），面積公式：$\frac{1}{2} × AM × AN = 2$。
代入得：$\frac{1}{2} × t × (6 - 2t) = 2$。
化簡(jiǎn)方程：$\frac{t(6 - 2t)}{2} = 2 \implies t(6 - 2t) = 4 \implies 6t - 2t^2 = 4 \implies t^2 - 3t + 2 = 0$。
解得：$t = 1$或$t = 2$。
檢驗(yàn)：$t = 1$和$t = 2$均滿足$0 \leq t \leq 3$（$M$、$N$未到達(dá)終點(diǎn)）。
答：經(jīng)過$1$秒或$2$秒。

【答案】：
(1)
增加的租金為$13 - 10 = 3$（萬元），$3$萬元$= 30000$元，$\frac{30000}{5000} = 6$，
所以少租出$6$間，能租出的商鋪為$30 - 6 = 24$（間）。
(2)
設(shè)每間商鋪的年租金增加$x$個(gè)$5000$元，則每間商鋪年租金為$(10 + 0.5x)$萬元，能租出$(30 - x)$間，未租出$x$間。
租金總收入為$(10 + 0.5x)(30 - x)$萬元，
租出商鋪的費(fèi)用為$1×(30 - x)$萬元，未租出商鋪的費(fèi)用為$0.5x$萬元。
根據(jù)收益公式可得方程：
$(10 + 0.5x)(30 - x)-1×(30 - x)-0.5x = 275$
$300-10x + 15x-0.5x^{2}-30 + x-0.5x = 275$
$-0.5x^{2}+(15 - 10 + 1 - 0.5)x+300 - 30 - 275 = 0$
$-0.5x^{2}+5.5x - 5 = 0$
$x^{2}-11x + 10 = 0$
$(x - 1)(x - 10)=0$
解得$x = 1$或$x = 10$。
當(dāng)$x = 1$時(shí)，每間商鋪年租金為$10+0.5×1 = 10.5$（萬元）；
當(dāng)$x = 10$時(shí)，每間商鋪年租金為$10+0.5×10 = 15$（萬元）。
綜上，(1)能租出$24$間；(2)當(dāng)每間商鋪年租金定為$10.5$萬元或$15$萬元時(shí)，年收益為$275$萬元。

【解析】：

(1)
每間年租金增加：$13 - 10 = 3$（萬元）$= 30000$元
少租出商鋪數(shù)：$30000 ÷ 5000 = 6$（間）
能租出商鋪數(shù)：$30 - 6 = 24$（間）
(2)
設(shè)每間商鋪年租金增加$x$萬元，則年租金為$(10 + x)$萬元，少租出商鋪$\frac{x}{0.5} = 2x$間，租出商鋪$(30 - 2x)$間，未租出商鋪$2x$間。
收益 = 租金 - 各種費(fèi)用
租金 = $(10 + x)(30 - 2x)$
各種費(fèi)用 = $1 × (30 - 2x) + 0.5 × 2x = 30 - 2x + x = 30 - x$
依題意：$(10 + x)(30 - 2x) - (30 - x) = 275$
整理得：$300 - 20x + 30x - 2x^2 - 30 + x = 275$
$-2x^2 + 11x + 270 = 275$
$2x^2 - 11x + 5 = 0$
解得：$x_1 = 5$，$x_2 = 0.5$
當(dāng)$x = 5$時(shí)，年租金：$10 + 5 = 15$（萬元）
當(dāng)$x = 0.5$時(shí)，年租金：$10 + 0.5 = 10.5$（萬元）
答：
(1)能租出24間；
(2)每間商鋪的年租金定為10.5萬元或15萬元時(shí)，年收益為275萬元。