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第101頁

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（1）設(shè)矩形羊圈垂直于墻的一邊長(zhǎng)為$x$m，則平行于墻的一邊長(zhǎng)為$(12 - 2x)$m。根據(jù)題意，得$x(12 - 2x) = 16，$整理得$x^{2} - 6x + 8 = 0，$解得$x_{1} = 2，$$x_{2} = 4。$當(dāng)$x = 2$時(shí)，$12 - 2x = 8；$當(dāng)$x = 4$時(shí)，$12 - 2x = 4。$因此，可行的方案有兩種：方案一：垂直于墻的兩邊長(zhǎng)為$2$m，平行于墻的一邊長(zhǎng)為$8$m；方案二：垂直于墻的兩邊長(zhǎng)為$4$m，平行于墻的一邊長(zhǎng)為$4$m。
（2）不可能。理由如下：假設(shè)能砌成面積為$20m^{2}$的矩形羊圈，則根據(jù)題意，得$x(12 - 2x) = 20，$整理得$x^{2} - 6x + 10 = 0。$計(jì)算判別式$ b2-4ac(-6)^{2} - 4\times1\times10 = -4 ＜ 0，因此該方程無實(shí)數(shù)解。所以，不能砌成面積為20m^{2}$的矩形羊圈。
設(shè)經(jīng)過$ t $秒，$\triangle AMN$的面積等于矩形$ABCD$面積的$\frac{1}{9}。$
矩形$ABCD$的面積為$AB \times BC = 3 \times 6 = 18 \, cm^2，$則$\triangle AMN$的面積需為$18 \times \frac{1}{9} = 2 \, cm^2。$
由題意可知，動(dòng)點(diǎn)$M$的速度為$1 \, cm/s，$則$AM = t \, cm；$動(dòng)點(diǎn)$N$的速度為$2 \, cm/s，$則$DN = 2t \, cm，$因?yàn)?AD = BC = 6 \, cm，$所以$AN = AD - DN = 6 - 2t \, cm。$
由于$\angle A = 90^\circ，$所以$\triangle AMN$為直角三角形，其面積公式為$\frac{1}{2} \times AM \times AN。$根據(jù)題意可列方程：
$\frac{1}{2} \times t \times (6 - 2t) = 2$
化簡(jiǎn)方程：
$\frac{t(6 - 2t)}{2} = 2 \implies t(6 - 2t) = 4 \implies 6t - 2t^2 = 4 \implies t^2 - 3t + 2 = 0$
解方程$t^2 - 3t + 2 = 0，$可得$(t - 1)(t - 2) = 0，$解得$t = 1$或$t = 2。$
檢驗(yàn)：當(dāng)$t = 1$時(shí)，$AM = 1 \, cm，$$AN = 6 - 2 \times 1 = 4 \, cm，$均未超過矩形邊長(zhǎng)；當(dāng)$t = 2$時(shí)，$AM = 2 \, cm，$$AN = 6 - 2 \times 2 = 2 \, cm，$也均未超過矩形邊長(zhǎng)，所以$t = 1$和$t = 2$均符合題意。
答：經(jīng)過$1$秒或$2$秒。
答題卡（17題）：
(1)
解：由方程 $(x - 1)^{2} = 3$，
開方得：
$x - 1 = \pm \sqrt{3}$
解得：
$x_{1} = 1 + \sqrt{3}$
$x_{2} = 1 - \sqrt{3}$
(2)
解：由方程 $x^{2} - 3x + 1 = 0$，
使用公式法，其中 $a = 1, b = -3, c = 1$，
判別式 $\Delta = b^{2} - 4ac = 9 - 4 = 5$，
所以：
$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
解得：
$x_{1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
$x_{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
(3)
解：由方程 $2x^{2} = x$，
移項(xiàng)得：
$2x^{2} - x = 0$
提取公因式x得：
$x(2x - 1) = 0$
解得：
$x_{1} = 0$
$x_{2} = \frac{1}{2}$
(4)
解：由方程 $6x^{2} - x - 12 = 0$，
移項(xiàng)并除以6得：
$x^{2} - \frac{1}{6}x = 2$
配方得：
$x^{2} - \frac{1}{6}x + \left(\frac{1}{12}\right)^{2} = 2 + \left(\frac{1}{12}\right)^{2}$
即：
$\left(x - \frac{1}{12}\right)^{2} = \frac{289}{144}$
開方得：
$x - \frac{1}{12} = \pm \frac{17}{12}$
解得：
$x_{1} = \frac{3}{2}$
$x_{2} = -\frac{4}{3}$
設(shè)經(jīng)過$ t $秒，$\triangle AMN$的面積等于矩形$ABCD$面積的$\frac{1}{9}$。
矩形$ABCD$面積：$AB × BC = 3 × 6 = 18 \, cm^2$，則$\triangle AMN$面積需為$18 × \frac{1}{9} = 2 \, cm^2$。
由題意：
動(dòng)點(diǎn)$M$的速度為$1 \, cm/s$，則$AM = t \, cm$；
動(dòng)點(diǎn)$N$的速度為$2 \, cm/s$，則$DN = 2t \, cm$，$AN = AD - DN = 6 - 2t \, cm$（$AD = BC = 6 \, cm$）。
$\triangle AMN$為直角三角形（$\angle A = 90°$），面積公式：$\frac{1}{2} × AM × AN = 2$。
代入得：$\frac{1}{2} × t × (6 - 2t) = 2$。
化簡(jiǎn)方程：$\frac{t(6 - 2t)}{2} = 2 \implies t(6 - 2t) = 4 \implies 6t - 2t^2 = 4 \implies t^2 - 3t + 2 = 0$。
解得：$t = 1$或$t = 2$。
檢驗(yàn)：$t = 1$和$t = 2$均滿足$0 \leq t \leq 3$（$M$、$N$未到達(dá)終點(diǎn)）。
答：經(jīng)過$1$秒或$2$秒。
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