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-5

$(x-2)(x+3)=0$

$\frac{1}{2}$

$0$

$m \leq \frac{5}{4}$且$m \neq 1$

3

-3

 解：由方程 $(x - 1)^{2} = 3，$開方得：$x - 1 = \pm \sqrt{3}，$解得：$x_{1} = 1 + \sqrt{3}，$$x_{2} = 1 - \sqrt{3}$

 解：由方程 $x^{2} - 3x + 1 = 0，$使用公式法，其中 $a = 1，$$b = -3，$$c = 1，$判別式 $ b^{2} - 4ac = 9 - 4 = 5，$所以：$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}，$解得：$x_{1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}，$$x_{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

 解：由方程 $2x^{2} = x，$移項(xiàng)得：$2x^{2} - x = 0，$提取公因式$x$得：$x(2x - 1) = 0，$解得：$x_{1} = 0，$$x_{2} = \frac{1}{2}$

 解：由方程 $6x^{2} - x - 12 = 0，$移項(xiàng)并除以6得：$x^{2} - \frac{1}{6}x = 2，$配方得：$x^{2} - \frac{1}{6}x + \left(\frac{1}{12}\right)^{2} = 2 + \left(\frac{1}{12}\right)^{2}，$即：$\left(x - \frac{1}{12}\right)^{2} = \frac{289}{144}，$開方得：$x - \frac{1}{12} = \pm \frac{17}{12}，$解得：$x_{1} = \frac{3}{2}，$$x_{2} = -\frac{4}{3}$

【答案】：
2或3

【解析】：
因?yàn)橥愴?xiàng)要求字母相同且相同字母的指數(shù)也相同，所以$m^{2}-4m + 6 = m$，移項(xiàng)得$m^{2}-5m + 6 = 0$，因式分解為$(m - 2)(m - 3)=0$，解得$m = 2$或$m = 3$。

【答案】：
-5

【解析】：
因?yàn)?a$是方程$x^{2}-x + 5 = 0$的一個(gè)根，所以將$a$代入方程得$a^{2}-a + 5 = 0$，移項(xiàng)可得$a^{2}-a=-5$。

【答案】：
$x^{2}+x - 6 = 0$（答案不唯一，$k(x^{2}+x - 6)=0,k\neq0$均可）填具體形式如$x^{2}+x - 6 = 0$

【解析】：
設(shè)方程的兩根為$x_1 = 2$，$x_2 = -3$，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若方程為$x^{2}+bx + c = 0$（$a = 1$），則$x_1 + x_2=-b$，$x_1x_2 = c$。
由$x_1 + x_2=2+( - 3)=-1$，可得$b = 1$；由$x_1x_2=2×(-3)= - 6$，可得$c=-6$。
所以這個(gè)一元二次方程可以是$x^{2}+x - 6 = 0$。

【答案】：
$\frac{1}{2}$，$0$

【解析】：
將$x = 0$代入方程$2x^2 - x - 5m = 0$，得$-5m = 0$，解得$m = 0$（這里（應(yīng)該是“將”，筆誤保留原思考過程）原表述修正：實(shí)際應(yīng)為代入后得$-5m=0$，即$m=0$的求解過程）。
設(shè)方程的另一個(gè)根為$x_1$，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，兩根之和為$\frac{1}{2}$（由$-\frac{a} = \frac{1}{2}$得出），已知一根為$0$，則$0 + x_1 = \frac{1}{2}$，解得$x_1 = \frac{1}{2}$。
（補(bǔ)充完整解析：對(duì)于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$，若方程兩根為$x_1$和$x_2$，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知$x_1 + x_2 =-\frac{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$2x^{2}-x - 5m = 0$中，$a = 2$，$b=-1$，$c = -5m$。
因?yàn)橐粋€(gè)根為$0$，設(shè)另一個(gè)根為$x_1$，由$x_1 + 0=\frac{1}{2}$（$-\frac{a}=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}$），可得$x_1=\frac{1}{2}$；
又因?yàn)?x_1×0=\frac{c}{a}=\frac{-5m}{2}$，即$0 = \frac{-5m}{2}$，解得$m = 0$。）

【答案】：
$m \leq \frac{5}{4}$且$m \neq 1$（或填寫$m ＜ \frac{5}{4}且m\neq1$ 的相關(guān)選項(xiàng)（根據(jù)具體選項(xiàng)調(diào)整））

【解析】：
由于方程 $(m - 1)x^{2} + x + 1 = 0$ 是一元二次方程，必須有 $m - 1 \neq 0$，即 $m \neq 1$。
其次，由于方程有實(shí)數(shù)根，根據(jù)判別式的定義 $\Delta = b^2 - 4ac$，有：
$\Delta = 1^2 - 4(m - 1) × 1 \geq 0$，
即：
$1 - 4m + 4 \geq 0$，
$-4m + 5 \geq 0$，
$m \leq \frac{5}{4}$。
綜合以上兩個(gè)條件，得到 $m$ 的取值范圍是 $m \leq \frac{5}{4}$ 且 $m \neq 1$。

【答案】：
3

【解析】：
設(shè)橫彩條寬度為$3x$cm，豎彩條寬度為$2x$cm。
圖案總面積：$20×12=240$cm2，彩條面積：$240×\frac{2}{5}=96$cm2，空白面積：$240 - 96=144$cm2。
空白部分為矩形，長(zhǎng)為$20 - 2×2x$，寬為$12 - 3x$，則：
$(20 - 4x)(12 - 3x)=144$
展開得：$240 - 60x - 48x + 12x2=144$
化簡(jiǎn)：$12x2 - 108x + 96=0$，即$x2 - 9x + 8=0$
解得：$x=1$或$x=8$（$x=8$不合題意，舍去）
橫彩條寬度：$3x=3×1=3$cm

【答案】：
-3

【解析】：
∵菱形對(duì)角線互相垂直平分，∴AO⊥BO，AO2+BO2=AB2=25。設(shè)AO=a，BO=b，a、b為方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的兩根，由韋達(dá)定理得a+b=-(2m-1)，ab=m2+3。∵a2+b2=(a+b)2-2ab=25，∴[-(2m-1)]2-2(m2+3)=25，化簡(jiǎn)得2m2-4m-30=0，即m2-2m-15=0，解得m=5或m=-3?！遖＞0，b＞0，∴a+b=-(2m-1)＞0，即2m-1＜0，m＜1/2，故m=5舍去。當(dāng)m=-3時(shí)，判別式Δ=(-4m-11)=1＞0，符合題意。∴m=-3。

答題卡（17題）：
(1)
解：由方程 $(x - 1)^{2} = 3$，
開方得：
$x - 1 = \pm \sqrt{3}$
解得：
$x_{1} = 1 + \sqrt{3}$
$x_{2} = 1 - \sqrt{3}$
(2)
解：由方程 $x^{2} - 3x + 1 = 0$，
使用公式法，其中 $a = 1, b = -3, c = 1$，
判別式 $\Delta = b^{2} - 4ac = 9 - 4 = 5$，
所以：
$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
解得：
$x_{1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
$x_{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
(3)
解：由方程 $2x^{2} = x$，
移項(xiàng)得：
$2x^{2} - x = 0$
提取公因式x得：
$x(2x - 1) = 0$
解得：
$x_{1} = 0$
$x_{2} = \frac{1}{2}$
(4)
解：由方程 $6x^{2} - x - 12 = 0$，
移項(xiàng)并除以6得：
$x^{2} - \frac{1}{6}x = 2$
配方得：
$x^{2} - \frac{1}{6}x + \left(\frac{1}{12}\right)^{2} = 2 + \left(\frac{1}{12}\right)^{2}$
即：
$\left(x - \frac{1}{12}\right)^{2} = \frac{289}{144}$
開方得：
$x - \frac{1}{12} = \pm \frac{17}{12}$
解得：
$x_{1} = \frac{3}{2}$
$x_{2} = -\frac{4}{3}$

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