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第97頁

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把$x = -5$代入方程$5x^{2}+kx - 10 = 0，$得$5×(-5)^{2}+k×(-5)-10 = 0，$即$5×25 - 5k - 10 = 0，$$125 - 5k - 10 = 0，$$115 - 5k = 0，$解得$k = 23。$
設方程的另一個根為$x_{1}，$由根與系數的關系，得$-5x_{1}=\frac{-10}{5}=-2，$解得$x_{1}=\frac{2}{5}。$
所以方程的另一個根為$\frac{2}{5}，$$k$的值為$23。$
證明：將方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$展開，得到：
$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0，$
對于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0，$其判別式為$b2-4ac= b^2 - 4ac。$
將$a = 1，$$b = -3，$$c = 2 - m^2$代入，可得：
$b2-4ac= (-3)^2 - 4 \times 1 \times (2 - m^2) = 9 - 8 + 4m^2 = 1 + 4m^2，$
因為$m^2 \geq 0，$所以$4m^2 \geq 0，$則$1 + 4m^2 \geq 1 ＞ 0，$即$\Delta ＞ 0，$
根據判別式的性質，當$b2-4ac＞ 0$時，方程有兩個不相等的實數根。
因此，不論$m$取何值，關于$x$的方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$總有兩個不相等的實數根。
設每千克應漲價$x$元。
根據題意，每千克盈利為$(10 + x)$元，日銷售量為$(500 - 20x)$kg，要保證每天盈利6000元，可得方程：
$(10 + x)(500 - 20x) = 6000$
展開并整理：
$5000 + 500x - 200x - 20x^2 = 6000$
$-20x^2 + 300x - 1000 = 0$
兩邊同除以$-20$：
$x^2 - 15x + 50 = 0$
因式分解：
$(x - 5)(x - 10) = 0$
解得$x_1 = 5，$$x_2 = 10。$
因為要使顧客得到實惠，應選擇較小的漲價金額，故$x = 5。$
答：每千克應漲價5元。
(1)
$3y(y - 1)- 2(y - 1)=0$
$(y - 1)(3y - 2)=0$
則$y - 1 = 0$或$3y - 2 = 0$
解得$y_{1}=1$，$y_{2}=\frac{2}{3}$
(2)
對于方程$x^{2}-2x - 2 = 0$，其中$a = 1$，$b=-2$，$c = - 2$
根據求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-2)=4 + 8 = 12$
$x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}$
即$x_{1}=1+\sqrt{3}$，$x_{2}=1 - \sqrt{3}$
(3)
$x^{2}+5x + 3 = 0$
$x^{2}+5x=-3$
$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-3+\frac{25}{4}$
$(x+\frac{5}{2})^{2}=\frac{13}{4}$
$x+\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{13}}{2}$
$x=-\frac{5}{2}\pm\frac{\sqrt{13}}{2}$
即$x_{1}=-\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2}$
(4)
$(3x + 1)^{2}-4(x - 5)^{2}=0$
$(3x + 1 + 2x - 10)(3x + 1-2x + 10)=0$
$(5x - 9)(x + 11)=0$
則$5x - 9 = 0$或$x + 11 = 0$
解得$x_{1}=\frac{9}{5}$，$x_{2}=-11$
設每千克應漲價$x$元。
根據題意，每千克盈利為$(10 + x)$元，日銷售量為$(500 - 20x)$kg，盈利為6000元，可得方程：
$(10 + x)(500 - 20x) = 6000$
展開并整理：
$5000 + 500x - 200x - 20x^2 = 6000$
$-20x^2 + 300x - 1000 = 0$
兩邊同除以$-20$：
$x^2 - 15x + 50 = 0$
因式分解：
$(x - 5)(x - 10) = 0$
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 10$。
因為要使顧客得到實惠，應選擇較小的漲價金額，故$x = 5$。
答：每千克應漲價5元。
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