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30°

6

 （1）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BCA=90^{\circ}，$$AB=4，$$AC=2，$根據(jù)勾股定理可得$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{16 - 4}=2\sqrt{3}。$因為$\cos\angle BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}，$所以$\angle BAC=60^{\circ}。$由于$AD$平分$\angle BAC，$則$\angle BAD=30^{\circ}。$

 因為$\angle BCA=90^{\circ}，$所以$AB$為$\triangle ABC$外接圓的直徑，因此$\angle ADB=90^{\circ}$（直徑所對的圓周角是直角）。在$Rt\triangle ABD$中，$BD=AB\cdot\sin\angle BAD=4\times\sin_{30}^{\circ}=4\times\frac{1}{2}=2。$

 （2）由（1）知$AB=4，$則$\triangle ABC$外接圓的半徑為$2，$圓心$O$為$AB$的中點。因為$AB$是直徑，所以$CD$為直徑時，$CD=4，$且$\angle DBC=90^{\circ}$（直徑所對的圓周角為直角）。

 點$I$為$\angle PBC$的平分線與$PD$的交點，可證明點$I$在以$B$為圓心，$2\sqrt{2}$為半徑的圓上，其軌跡為圓心角$90^{\circ}$的圓弧。

 該圓弧的弧長$l=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\times_{2}\pi\times_{2}\sqrt{2}=\frac{1}{4}\times_{4}\sqrt{2}\pi=\sqrt{2}\pi。$

 因為點$P$不與點$C$、$B$重合，所以點$I$的軌跡是一段不含端點的圓弧，其路徑長$l$的取值范圍是

0＜l＜$\frac{4}{3}$π.

 （1）$BD=2；$（2）$l$的取值范圍是

0＜l＜$\frac{4}{3}$π.

$\frac{π}{3}?\frac{\sqrt{3}}{4}$

$(1)①證明：$

$連接OC，BC。$

$∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=90°（直徑所對圓周角是直角）。$

$在Rt△ACB中，AB=2（半徑為1，直徑AB=2），AC=√3，$

$∴BC=√(AB2-AC2)=√(22-(√3)2)=1。$

$∵OB=OC=1（⊙O半徑），BC=1，$

$∴OB=OC=BC，△OBC是等邊三角形，∠COB=60°。$

$∵OB=BD，OB=1，∴BD=1，OD=OB+BD=2。$

$在△OCD中，OC=1，OD=2，∠COD=60°，$

$∴CD2=OC2+OD2-2·OC·OD·cos∠COD=12+22-2×1×2×cos_{60}°=1+4-2=3，$

$∴OC2+CD2=1+3=4=OD2，△OCD是直角三角形，∠OCD=90°，即OC⊥CD。$

$∵OC是⊙O半徑，∴CD是⊙O的切線。$

$②π/3$

$(2)∠CDO+2∠0AC=90°$

【答案】：
(1) 如圖所示（作圖痕跡為AB、AC的垂直平分線，交點P）；(2) 132°。

【解析】：
(1) 分別作線段AB、AC的垂直平分線，兩垂直平分線交于點P，點P即為所求。
(2) ∵點P是△ABC的外心，∴PA=PB=PC，∠BPC=2∠BAC。
∵∠BAC=66°，∴∠BPC=2×66°=132°。

【答案】：
30°

【解析】：
∵正多邊形外角為40°，∴邊數(shù)n=360°÷40°=9。
∵O為中心，∴OA=OD（半徑），∠AOD為A、D對應的中心角。
A、B、C、D為連續(xù)頂點，∴A到D相隔3個中心角，∠AOD=3×(360°÷9)=120°。
在△OAD中，OA=OD，∠OAD=(180°-∠AOD)/2=(180°-120°)/2=30°。

【答案】：
6

【解析】：
設點$A(-a,0)$，$B(a,0)$，則$AB=2a$，需求$a$的最小值。設$P(x,y)$，因$PA\perp PB$，向量$\overrightarrow{PA}=(-x-a,-y)$，$\overrightarrow{PB}=(a-x,-y)$，由$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0$得$x^2+y^2=a^2$，故點$P$在以$O$為圓心、$a$為半徑的圓上。又$P$在$\odot M$上，$\odot M$圓心$(3,4)$，半徑$2$，$OM=5$。兩圓有公共點，則$|a-2|\leq5\leq a+2$，解得$a\geq3$。當$a=3$時，兩圓外切，$a$最小，$AB=2a=6$。

【答案】：
(1) 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BCA=90°$，$AB=4$，$AC=2$，則$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$。$\angle BAC=60°$，$AD$平分$\angle BAC$，則$\angle BAD=30°$。
$AB$為外接圓直徑，$\angle ADB=90°$（直徑所對圓周角）。在$Rt\triangle ABD$中，$BD=AB\cdot\sin\angle BAD=4\cdot\sin30°=2$。
(2) 由(1)知$AB=4$，外接圓半徑為$2$，圓心$O$為$AB$中點。$CD$為直徑（$CD=4$），$BD\perp BC$（直徑所對圓周角為直角）。
點$I$為$\angle PBC$平分線與$PD$交點，可證$I$在以$B$為圓心，$2\sqrt{2}$為半徑的圓上。軌跡為圓心角$90°$的圓弧。
弧長$l=\frac{90°}{360°}×2\pi×2\sqrt{2}=\sqrt{2}\pi$。
(1) $BD=2$；(2) $l=\sqrt{2}\pi$
答案
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{\sqrt{2}\pi}$

【解析】：

(1) 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BCA=90^\circ$，$AB=4$，$AC=2$，則$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，$\angle BAC=60^\circ$。
因為$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=30^\circ$。
$\triangle ABC$外接圓中，$AB$為直徑，$\angle ADB=90^\circ$。
在$Rt\triangle ABD$中，$BD=AB\cdot\sin\angle BAD=4×\sin30^\circ=4×\frac{1}{2}=2$。
(2) 點$I$的軌跡是以$BD$為弦，圓心角為$120^\circ$的圓?。ú缓它c）。
$BD=2$，設圓心為$O$，則$\triangle OBD$為等邊三角形，半徑$OB=BD=2$。
弧長$l=\frac{120^\circ}{360^\circ}×2\pi×2=\frac{4\pi}{3}$。
因為點$P$不與$C$、$B$重合，所以$0＜l＜\frac{4\pi}{3}$。
(1)$2$；
(2)$0＜l＜\frac{4\pi}{3}$

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