解：(1) 分別作線段AB、AC的垂直平分線，兩垂直平分線交于點P，點P即為所求。 (2) ∵點P是△ABC的外心，∴PA=PB=PC，∠BPC=2∠BAC。 ∵∠BAC=66°，∴∠BPC=2×66°=132°。
【答案】：
(1) $y = x + 1$
(2) $(4,5)$，$(-5,-4)$，$(3,4)$，$(-4,-3)$
(3) $(-1,0)$，$(5,6)$
【解析】：
(1) 設直線$l_1$的函數(shù)表達式為$y = kx + b$，將點$(1,2)$和$(-2,-1)$代入得：
$\begin{cases} k + b = 2 \\ -2k + b = -1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = 1 \\ b = 1 \end{cases}$，故$l_1$的表達式為$y = x + 1$。
(2) 設$P(m, m + 1)$，$\odot P$半徑為5。
與$x$軸相切：$|m + 1| = 5$，$m = 4$（$m = -6$舍去），得$P(4,5)$；
與$y$軸相切：$|m| = 5$，$m = -5$（$m = 5$舍去），得$P(-5,-4)$；
過原點：$m^2 + (m + 1)^2 = 25$，解得$m = 3$或$m = -4$，得$P(3,4)$或$P(-4,-3)$。
綜上，$P$的坐標為$(4,5)$，$(-5,-4)$，$(3,4)$，$(-4,-3)$。
(3) 直線$l_1$：$x - y + 1 = 0$，設$Q(b, 2b - 1)$，$P(a, a + 1)$。
$Q$到$l_1$的距離為$\sqrt{2}$，即$\frac{|2 - b|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，解得$b = 0$或$b = 4$，故$Q(0,-1)$或$Q(4,7)$。
當$Q(0,-1)$時，$\sqrt{(a - 0)^2 + (a + 1 + 1)^2} = \sqrt{2}$，解得$a = -1$，$P(-1,0)$；
當$Q(4,7)$時，$\sqrt{(a - 4)^2 + (a + 1 - 7)^2} = \sqrt{2}$，解得$a = 5$，$P(5,6)$。
綜上，$P$的坐標為$(-1,0)$，$(5,6)$。
【答案】：
A
【解析】：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=6$，$AB=10$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$CD$是斜邊$AB$上的中線，故$CD=\frac{1}{2}AB=5$，$P$為$CD$中點，則$CP=\frac{5}{2}=2.5$。
以$AC$為直徑畫$\odot O$，圓心$O$為$AC$中點，半徑$r=\frac{AC}{2}=3$。
建立坐標系：設$C(0,0)$，$A(0,6)$，$B(8,0)$，則$AB$中點$D$坐標為$(\frac{0+8}{2},\frac{6+0}{2})=(4,3)$。
$CD$中點$P$坐標為$(\frac{0+4}{2},\frac{0+3}{2})=(2,1.5)$，圓心$O$坐標為$(\frac{0+0}{2},\frac{6+0}{2})=(0,3)$。
計算$OP$距離：$OP=\sqrt{(2-0)^2+(1.5-3)^2}=\sqrt{4+2.25}=\sqrt{6.25}=2.5$。
$\odot O$半徑$r=3$，因$OP=2.5\lt3$，故點$P$在$\odot O$內(nèi)。
【答案】：
$40^{\circ}$（由于要求只填結(jié)果相關內(nèi)容，這里若按填空題形式本應填$40^{\circ}$ ，若題目是選擇題形式才填選項，本題按非選擇題解析，若強制按答案格式要求，可理解為填$40$ （度數(shù)數(shù)值） ）
【解析】：
連接$BC$。
因為$AB$是$\odot O$的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，
所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
已知$\angle BAC = 50^{\circ}$，在$\triangle ABC$中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為$180^{\circ}$，
可得$\angle ABC=180^{\circ}-\angle ACB - \angle BAC=180^{\circ}-90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$。
因為同弧所對的圓周角相等，$\angle ADC$和$\angle ABC$都是弧$AC$所對的圓周角，
所以$\angle ADC=\angle ABC = 40^{\circ}$。
【答案】：
$(-4,-7)$
【解析】：
設點$P$的坐標為$(x,y)$，因為$\odot P$與$y$軸交于$M(0,-4)$、$N(0,-10)$，所以$PM=PN=5$。
$M$、$N$在$y$軸上，兩點間距離為$\vert -4 - (-10)\vert = 6$，則$MN$中點坐標為$(0, \frac{-4 + (-10)}{2})=(0,-7)$。
$P$在線段$MN$的垂直平分線上，$MN$在$y$軸上，垂直平分線為平行于$x$軸的直線，所以$y=-7$。
$PM=5$，根據(jù)勾股定理，$x^2 + [(-7) - (-4)]^2 = 5^2$，即$x^2 + (-3)^2 = 25$，$x^2 = 16$，$x = \pm 4$。由圖知$P$在第二象限，$x=-4$，故$P(-4,-7)$。
【答案】：
1.5cm
【解析】：
該三角形為等腰三角形，腰長5cm，底邊長6cm。半周長$s=\frac{6+5+5}{2}=8cm$。作底邊上的高，由勾股定理得高$h=\sqrt{5^2-3^2}=4cm$，面積$S=\frac{6×4}{2}=12cm^2$。設內(nèi)切圓半徑為$r$，由$S=rs$得$r=\frac{S}{s}=\frac{12}{8}=1.5cm$。
【答案】：
$\boxed{4}$
【解析】：
解題步驟：
1. 建立坐標系：設矩形 $ABCD$ 中，$B(0,0)$，$C(4,0)$，$D(4,2)$，$A(0,2)$。木棒 $EF=2cm$，中點 $P$ 到 $E$、$F$ 距離均為 $1cm$。
2. 分析滑動階段：
階段1：$E$ 在 $AB$，$F$ 在 $BC$，$P$ 軌跡為以 $B(0,0)$ 為圓心、半徑 $1$ 的四分之一圓弧（$x^2+y^2=1$）。
階段2：$E$、$F$ 在 $BC$，$P$ 軌跡為線段 $y=0$（$x$ 從 $1$ 到 $3$）。
階段3：$E$ 在 $BC$，$F$ 在 $CD$，$P$ 軌跡為以 $C(4,0)$ 為圓心、半徑 $1$ 的四分之一圓?。?(4-x)^2+y^2=1$）。
階段4：$E$、$F$ 在 $CD$（不可能，$CD=2cm$）。
階段5：$E$ 在 $CD$，$F$ 在 $DA$，$P$ 軌跡為以 $D(4,2)$ 為圓心、半徑 $1$ 的四分之一圓?。?(4-x)^2+(2-y)^2=1$）。
階段6：$E$、$F$ 在 $DA$，$P$ 軌跡為線段 $y=2$（$x$ 從 $3$ 到 $1$）。
階段7：$E$ 在 $DA$，$F$ 在 $AB$，$P$ 軌跡為以 $A(0,2)$ 為圓心、半徑 $1$ 的四分之一圓弧（$x^2+(2-y)^2=1$）。
3. 軌跡圍成圖形：四段圓弧（共一個整圓，面積 $\pi × 1^2 = \pi$）與四段線段圍成中間矩形（長 $2$、寬 $2$，面積 $2 × 2 = 4$）。但圓弧在矩形內(nèi)部抵消，實際圍成圖形為矩形。
結(jié)論：
中點 $P$ 的運動軌跡所圍成的圖形面積為 $4$。
【答案】：
(1) 如圖所示（作圖痕跡為AB、AC的垂直平分線，交點P）；(2) 132°。
【解析】：
(1) 分別作線段AB、AC的垂直平分線，兩垂直平分線交于點P，點P即為所求。
(2) ∵點P是△ABC的外心，∴PA=PB=PC，∠BPC=2∠BAC。
∵∠BAC=66°，∴∠BPC=2×66°=132°。
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