$1. 直線上滾動：$ $路徑：平行于直線的線段$ $路徑長：等于直線段長度，設(shè)直線段長為L，路徑長=L$ $2. 圓上滾動（圓形紙片半徑為r，固定圓半徑為R）：$ $外滾動（沿固定圓外側(cè)）：$ $路徑：以固定圓圓心為圓心，半徑為R+r的圓$ $路徑長：2\pi(R+r)$ $內(nèi)滾動（沿固定圓內(nèi)側(cè)，R＞r）：$ $路徑：以固定圓圓心為圓心，半徑為R-r的圓$ $路徑長：2\pi(R-r)$ $3. 折線上滾動（折線由線段AB、BC組成，內(nèi)角為\alpha，圓半徑為r）：$ $路徑：線段AB對應(yīng)平行線段 + 圓弧 + 線段BC對應(yīng)平行線段$ $路徑長：AB + BC + \frac{(180°-\alpha)\pi r}{180°}（其中180°-\alpha為圓弧圓心角）$ (1) 設(shè)直線$l_1$的函數(shù)表達(dá)式為$y = kx + b，$將點(diǎn)$(1,2)$和$(-2,-1)$代入可得：$\begin{cases}k + b = 2 \\ -2k + b = -1\end{cases}，$解得$\begin{cases}k = 1 \\ b = 1\end{cases}，$所以直線$l_1$的函數(shù)表達(dá)式為$y = x + 1。$ (2) 設(shè)點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(a, a + 1)，$因?yàn)?\odot P$的半徑為$5，$當(dāng)$\odot P$與坐標(biāo)軸只有$3$個不同的公共點(diǎn)時，分兩種情況：①圓與$x$軸相切，與$y$軸相交，此時$|a + 1| = 5，$解得$a = 4$或$a = -6，$當(dāng)$a = 4$時，點(diǎn)$P$到$y$軸的距離為$4，$$4 ＜ 5，$與$y$軸有兩個交點(diǎn)，符合題意，坐標(biāo)為$(4,5)；$當(dāng)$a = -6$時，點(diǎn)$P$到$y$軸的距離為$6，$$6 ＞ 5，$與$y$軸無交點(diǎn)，不符合題意。②圓與$y$軸相切，與$x$軸相交，此時$|a| = 5，$解得$a = 5$或$a = -5，$當(dāng)$a = -5$時，點(diǎn)$P$到$x$軸的距離為$|-5 + 1| = 4 ＜ 5，$與$x$軸有兩個交點(diǎn)，符合題意，坐標(biāo)為$(-5,-4)；$當(dāng)$a = 5$時，點(diǎn)$P$到$x$軸的距離為$6 ＞ 5，$與$x$軸無交點(diǎn)，不符合題意。③圓過原點(diǎn)，此時$a^2 + (a + 1)^2 = 25，$解得$a = 3$或$a = -4，$坐標(biāo)為$(3,4)$或$(-4,-3)。$綜上，點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(4,5)，$$(-5,-4)，$$(3,4)，$$(-4,-3)。$ (3) 因?yàn)橹本€$l_1$：$y = x + 1，$直線$l_2$：$y = 2x - 1，$設(shè)點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)為$(m, 2m - 1)，$點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(n, n + 1)，$因?yàn)?PQ = \sqrt{2}，$所以$\sqrt{(m - n)^2 + (2m - 1 - n - 1)^2} = \sqrt{2}，$即$(m - n)^2 + (2m - n - 2)^2 = 2。$又因?yàn)橐渣c(diǎn)$Q$為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓與直線$l_1$相切，直線$l_1$：$x - y + 1 = 0，$所以點(diǎn)$Q$到直線$l_1$的距離為$\frac{|m - (2m - 1) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{| - m + 2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}，$解得$m = 0$或$m = 4。$當(dāng)$m = 0$時，$Q(0, -1)，$代入$PQ = \sqrt{2}$可得$\sqrt{(0 - n)^2 + (-1 - n - 1)^2} = \sqrt{2}，$解得$n = -1，$此時點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(-1,0)；$當(dāng)$m = 4$時，$Q(4,7)，$代入$PQ = \sqrt{2}$可得$\sqrt{(4 - n)^2 + (7 - n - 1)^2} = \sqrt{2}，$解得$n = 5，$此時點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(5,6)。$所以點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(-1,0)，$$(5,6)。$
【答案】：
(1)垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧；任意角度；重合
(2)特殊位置（或圓心在圓周角的一邊上）
(3)扇形
【解析】：
(1)垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條??；任意角度；重合
(2)特殊位置（或圓心在圓周角的一邊上）
(3)扇形
1. 直線上滾動：
路徑：平行于直線的線段
路徑長：等于直線段長度，設(shè)直線段長為$L$，路徑長$=L$
2. 圓上滾動（圓形紙片半徑為$r$，固定圓半徑為$R$）：
外滾動（沿固定圓外側(cè)）：
路徑：以固定圓圓心為圓心，半徑為$R+r$的圓
路徑長：$2\pi(R+r)$
內(nèi)滾動（沿固定圓內(nèi)側(cè)，$R＞r$）：
路徑：以固定圓圓心為圓心，半徑為$R-r$的圓
路徑長：$2\pi(R-r)$
3. 折線上滾動（折線由線段$AB$、$BC$組成，內(nèi)角為$\alpha$，圓半徑為$r$）：
路徑：線段$AB$對應(yīng)平行線段 + 圓弧 + 線段$BC$對應(yīng)平行線段
路徑長：$AB + BC + \frac{(180°-\alpha)\pi r}{180°}$（其中$180°-\alpha$為圓弧圓心角）
【答案】：
(1) $y = x + 1$
(2) $(4,5)$，$(-5,-4)$，$(3,4)$，$(-4,-3)$
(3) $(-1,0)$，$(5,6)$
【解析】：
(1) 設(shè)直線$l_1$的函數(shù)表達(dá)式為$y = kx + b$，將點(diǎn)$(1,2)$和$(-2,-1)$代入得：
$\begin{cases} k + b = 2 \\ -2k + b = -1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = 1 \\ b = 1 \end{cases}$，故$l_1$的表達(dá)式為$y = x + 1$。
(2) 設(shè)$P(m, m + 1)$，$\odot P$半徑為5。
與$x$軸相切：$|m + 1| = 5$，$m = 4$（$m = -6$舍去），得$P(4,5)$；
與$y$軸相切：$|m| = 5$，$m = -5$（$m = 5$舍去），得$P(-5,-4)$；
過原點(diǎn)：$m^2 + (m + 1)^2 = 25$，解得$m = 3$或$m = -4$，得$P(3,4)$或$P(-4,-3)$。
綜上，$P$的坐標(biāo)為$(4,5)$，$(-5,-4)$，$(3,4)$，$(-4,-3)$。
(3) 直線$l_1$：$x - y + 1 = 0$，設(shè)$Q(b, 2b - 1)$，$P(a, a + 1)$。
$Q$到$l_1$的距離為$\sqrt{2}$，即$\frac{|2 - b|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，解得$b = 0$或$b = 4$，故$Q(0,-1)$或$Q(4,7)$。
當(dāng)$Q(0,-1)$時，$\sqrt{(a - 0)^2 + (a + 1 + 1)^2} = \sqrt{2}$，解得$a = -1$，$P(-1,0)$；
當(dāng)$Q(4,7)$時，$\sqrt{(a - 4)^2 + (a + 1 - 7)^2} = \sqrt{2}$，解得$a = 5$，$P(5,6)$。
綜上，$P$的坐標(biāo)為$(-1,0)$，$(5,6)$。
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