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第62頁

信息發(fā)布者：
B
40°
4
(1)證明：連接$OC。$
因為$AC = CD，$$\angle ACD = 120^{\circ}，$所以$\angle A=\angle D=\frac{180^{\circ}-\angle ACD}{2}=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}。$
因為$OA = OC，$所以$\angle A=\angle ACO = 30^{\circ}。$
因此$\angle OCD=\angle ACD - \angle ACO=120^{\circ}- 30^{\circ}=90^{\circ}，$即$OC\perp CD。$
又因為$OC$是$\odot O$的半徑，所以$CD$是$\odot O$的切線。
$(2) 因為\angle A = 30^{\circ}，所以\angle COB = 2\angle A=60^{\circ}。 在Rt\triangle OCD中，\angle D = 30^{\circ}，OC = 2，則OD = 2OC = 4，CD=\sqrt{OD^{2}-OC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}。 S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}× OC× CD=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}。 S_{扇形OBC}=\frac{60\pi×2^{2}}{360}=\frac{2}{3}\pi。 S_{陰影}=S_{\triangle OCD}-S_{扇形OBC}=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}\pi。$
(1) 證明：連接 $OC，$
因為 $OA = OC，$所以 $\angle OAC=\angle OCA。$
又因為 $AC$ 平分 $\angle PAE，$所以 $\angle DAC=\angle OAC，$
從而 $\angle DAC=\angle OCA，$故 $OC// AD。$
由于 $CD\perp PA，$則 $\angle ADC = 90^\circ，$
因此 $\angle OCD=\angle ADC = 90^\circ，$即 $OC\perp CD。$
又因為 $OC$ 是 $\odot O$ 的半徑，所以 $CD$ 為 $\odot O$ 的切線。
(2) 解：過點 $O$ 作 $OF\perp AB$ 于點 $F，$則 $AF = FB=\frac{1}{2}AB。$
設(shè) $AD = x，$則 $DC=6 - x。$
因為 $CD\perp PA，$$OF\perp AB，$$OC\perp CD，$
所以四邊形 $OCDF$ 為矩形，故 $OF = CD=6 - x，$$DF = OC = 5，$
因此 $AF=DF - AD=5 - x。$
在 $Rt\triangle AOF$ 中，由勾股定理得：$AF^2+OF^2=OA^2，$
即 $(5 - x)^2+(6 - x)^2=5^2，$
整理得 $x^2 - 11x + 18 = 0，$解得 $x_1=2，$$x_2=9$（舍去）。
則 $AF=5 - 2=3，$所以 $AB=2AF=6。$
【答案】：
C

【解析】：
以AB為邊，分三種情況討論直角三角形：
1. 直角頂點為A：AC⊥AB，根據(jù)正六邊形網(wǎng)格向量垂直條件，得C點坐標(biāo)滿足$y=-2x$，網(wǎng)格內(nèi)有$(-1,2)$、$(1,-2)$，共2個。
2. 直角頂點為B：BC⊥BA，同理得C點坐標(biāo)滿足$y=-2x+4$，網(wǎng)格內(nèi)有$(1,2)$、$(3,-2)$，共2個。
3. 直角頂點為C：AC⊥BC，由勾股定理逆定理$AC2+BC2=AB2$（$AB2=4$），解得$AC2=1,BC2=3$或$AC2=3,BC2=1$，網(wǎng)格內(nèi)有$(0,1)$、$(1,-1)$、$(1,1)$、$(2,-1)$，共4個。
綜上，共有$2+2+4=8$個直角三角形。
【答案】：
B

【解析】：
過點O作OC⊥AB于點C，連接OA。
∵AB=6cm，∴AC=BC=3cm。
∵⊙O直徑為10cm，∴OA=5cm。
在Rt△OAC中，OC=√(OA2-AC2)=√(52-32)=4cm。
∵小圓與AB相切，∴小圓半徑為OC=4cm。
【答案】：
40°

【解析】：
∵⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∴點O是△ABC的內(nèi)心，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．
∵∠ACB=90°，∴∠OCB=∠ACB/2=45°．
在△BOC中，∠BOC=115°，∠OCB=45°，
∴∠OBC=180°-∠BOC-∠OCB=180°-115°-45°=20°．
∵BO平分∠ABC，∴∠ABC=2∠OBC=2×20°=40°．
【答案】：
4

【解析】：
以BC為對稱軸作點A的對稱點A'，連接A'D交BC于點P，此時PA+PD最小，最小值為A'D的長。
矩形ABCD中，AB=2，BC=3，∴A'(4,0)，D(0,3)。
由勾股定理得A'D=√[(4-0)2+(0-3)2]=5。
∵E是⊙A上動點，PE最小值為PA-AE=PA-1，
∴PE+PD最小值為(PA+PD)-1=5-1=4。
【答案】：
(1) 證明見上；(2) AB=6。

【解析】：
(1) 證明：連接OC。
∵AC平分∠PAE，∴∠PAC=∠CAE。
∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAE。
∴∠PAC=∠OCA，∴OC//PA。
∵CD⊥PA，∴OC⊥CD。
∵OC是⊙O半徑，∴CD為⊙O的切線。
(2) 設(shè)AD=x，則DC=6-x。過O作OF⊥AB于F，∴AF=FB。
∵CD是切線，OC⊥CD，CD⊥PA，OF⊥AB，∴四邊形OCDF是矩形。
∴OF=CD=6-x，DF=OC=5（⊙O直徑為10，半徑OC=5）。
∴AF=DF-AD=5-x。
在Rt△OAF中，OA2=AF2+OF2，即52=(5-x)2+(6-x)2。
展開得：25=25-10x+x2+36-12x+x2，化簡得2x2-22x+36=0，即x2-11x+18=0。
解得x=2或x=9（x=9時DC=6-9=-3舍去）。
∴AD=2，AF=5-2=3，∴AB=2AF=6。
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