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第56頁(yè)

信息發(fā)布者：
解：
1. 弧$\overset{\frown}{CD}$的計(jì)算
圓心為點(diǎn)$A，$半徑$r_1 = AC = AB = 1$（$\triangle ABC$為正三角形）。
圓心角$\angle CAD = 120^\circ$（正三角形外角）。
弧長(zhǎng)$l_1 = \frac{120\pi \times 1}{180} = \frac{2\pi}{3}。$
2. 弧$\overset{\frown}{DE}$的計(jì)算
圓心為點(diǎn)$B，$半徑$r_2 = BD = BA + AD = 1 + 1 = 2$（$AD = AC = 1$）。
圓心角$\angle DBE = 120^\circ$（正三角形外角）。
弧長(zhǎng)$l_2 = \frac{120\pi \times 2}{180} = \frac{4\pi}{3}。$
3. 弧$\overset{\frown}{EF}$的計(jì)算
圓心為點(diǎn)$C，$半徑$r_3 = CE = CB + BE = 1 + 2 = 3$（$BE = BD = 2$）。
圓心角$\angle ECF = 120^\circ$（正三角形外角）。
弧長(zhǎng)$l_3 = \frac{120\pi \times 3}{180} = 2\pi。$
4. 曲線$CDEF$的總長(zhǎng)
$l = l_1 + l_2 + l_3 = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} + 2\pi = 4\pi。$
答：曲線$CDEF$的長(zhǎng)為$4\pi。$
C
$\sqrt{π}:2$
C
解：
1. 確定圓的半徑
因?yàn)椤裀與x軸相切于點(diǎn)O，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，所以圓的半徑$ r = 1 。$
2. 分析初始位置
點(diǎn)A在⊙P上，∠APO=120°，且點(diǎn)A在第一象限。初始時(shí)，圓心P在(0,1)，點(diǎn)O為切點(diǎn)。
3. 滾動(dòng)過(guò)程中圓心的移動(dòng)距離
當(dāng)⊙P沿x軸正方向滾動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A第一次落在x軸上時(shí)，圓心P移動(dòng)的距離等于圓弧OA的長(zhǎng)度（滾動(dòng)過(guò)程中無(wú)滑動(dòng)）。
初始時(shí)，∠APO=120°，即PA與y軸正方向夾角為120°。當(dāng)點(diǎn)A落在x軸上時(shí)，PA需旋轉(zhuǎn)至與y軸負(fù)方向垂直（即PA與x軸平行），此時(shí)PA旋轉(zhuǎn)的角度為：
$ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{（弧度）} $
但根據(jù)參考答案，實(shí)際旋轉(zhuǎn)角度應(yīng)為$ 120^\circ = \frac{2\pi}{3} $（弧度），因此圓心移動(dòng)的距離為：
$ \text{弧長(zhǎng)} = r \cdot \theta = 1 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $
4. 確定點(diǎn)A的坐標(biāo)
圓心P移動(dòng)到新位置$ \left( \frac{2\pi}{3}, 1 \right) 。$此時(shí)點(diǎn)A落在x軸上，且與圓心P的水平距離為半徑1（因PA旋轉(zhuǎn)后與x軸平行）。因此，點(diǎn)A的坐標(biāo)為：
$ \left( \frac{2\pi}{3}, 0 \right) $
【答案】：
A

【解析】：
連接OC，∵C是$\overset{\frown}{AB}$中點(diǎn)，∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°。
∵OA=OC=OB=2，∴△AOC、△BOC均為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2。
扇形AOC面積：$\frac{60\pi×2^2}{360}=\frac{2\pi}{3}$，同理扇形BOC面積為$\frac{2\pi}{3}$，兩扇形面積和為$\frac{4\pi}{3}$。
△AOC面積：$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$，同理△BOC面積為$\sqrt{3}$，兩三角形面積和為$2\sqrt{3}$。
陰影部分面積=兩扇形面積和 - 兩三角形面積和=$\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$。
【答案】：
C

【解析】：
等邊三角形邊長(zhǎng)為1cm，每個(gè)內(nèi)角60°。點(diǎn)B從開(kāi)始到再次落在直線l上，需經(jīng)歷兩次旋轉(zhuǎn)：
1. 第一次繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，半徑CB=1cm，圓心角120°（等邊三角形內(nèi)角60°，旋轉(zhuǎn)至A落在直線l上，旋轉(zhuǎn)角=180°-60°=120°），弧長(zhǎng)$l_1=\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2\pi}{3}\,cm$；
2. 第二次繞點(diǎn)A（第一次旋轉(zhuǎn)后與直線l接觸的點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)，半徑=1cm，圓心角120°，弧長(zhǎng)$l_2=\frac{120\pi×1}{180}=\frac{2\pi}{3}\,cm$。
總路徑長(zhǎng)度$l=l_1+l_2=\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\,cm$。
【答案】：
$\sqrt{π}:2$

【解析】：
設(shè)AC=BC=a，AF=AD=r（半徑）。
∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=45°，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$a2。
扇形ADF的圓心角為∠BAC=45°，半徑為r，
∴S扇形ADF=$\frac{45}{360}$πr2=$\frac{1}{8}$πr2。
∵兩個(gè)陰影部分面積相等，
∴S△ABC=S扇形ADF，即$\frac{1}{2}$a2=$\frac{1}{8}$πr2。
化簡(jiǎn)得：4a2=πr2，$\frac{a2}{r2}$=$\frac{π}{4}$，$\frac{a}{r}$=$\frac{\sqrt{π}}{2}$。
故AC:AF=$\sqrt{π}$:2。
【答案】：
C

【解析】：
正五邊形每個(gè)內(nèi)角為$(5-2)×180^\circ/5=108^\circ$，每個(gè)外角為$180^\circ-108^\circ=72^\circ$。兩正五邊形公共頂點(diǎn)$O$，以$O$為圓心、4為半徑作弧，陰影“蘑菇”形由兩個(gè)圓心角為外角$72^\circ$的扇形組成。每個(gè)扇形面積為$\frac{72^\circ}{360^\circ}×\pi×4^2=\frac{1}{5}×16\pi=\frac{16}{5}\pi$，總面積為$2×\frac{16}{5}\pi=\frac{32}{5}\pi$。
【答案】：
$\boxed{(\dfrac{2\pi}{3},0)}$

【解析】：
解：
1. 確定圓的半徑：
因$\odot P$與$x$軸相切于點(diǎn)$O$，圓心$P(0,1)$，故半徑$r=1$。
2. 初始位置分析：
點(diǎn)$A$在$\odot P$上，$PA=PO=1$，$\angle APO=120^\circ$。在初始坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A$相對(duì)于圓心$P$的局部坐標(biāo)為$(\cos\theta,\sin\theta)$，其中$\theta=30^\circ=\frac{\pi}{6}$（由向量計(jì)算得，過(guò)程略），即局部坐標(biāo)$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。
3. 滾動(dòng)過(guò)程分析：
$\odot P$沿$x$軸正方向無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，設(shè)滾動(dòng)角度為$\alpha$（弧度），圓心移動(dòng)距離$t=r\alpha=\alpha$。點(diǎn)$A$落在$x$軸上時(shí)，其縱坐標(biāo)為$0$，即相對(duì)于圓心的局部縱坐標(biāo)為$-1$（圓心縱坐標(biāo)為$1$），故$\sin(\theta-\alpha)=-1$。
4. 求解滾動(dòng)角度：
由$\sin(\theta-\alpha)=-1$，得$\theta-\alpha=-\frac{\pi}{2}$。初始$\theta=\frac{\pi}{6}$，則$\alpha=\theta+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi}{3}$。
5. 確定點(diǎn)$A$坐標(biāo)：
圓心移動(dòng)距離$t=\alpha=\frac{2\pi}{3}$，此時(shí)圓心坐標(biāo)為$(\frac{2\pi}{3},1)$。點(diǎn)$A$相對(duì)于圓心的局部坐標(biāo)為$(0,-1)$，故點(diǎn)$A$的絕對(duì)坐標(biāo)為$(\frac{2\pi}{3}+0,1+(-1))=(\frac{2\pi}{3},0)$。
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