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正六邊形

或正十二

邊形等

是

不是

$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cm

B

A

C

 解:(1)以EF為直徑，過(guò)圓心O作EF的垂直平分線，交圓于兩點(diǎn)，再分別過(guò)EF上距O點(diǎn)等距的兩點(diǎn)作EF的垂線，交圓于A、D和B、C，順次連接A、B、C、D（保留作圖痕跡）。

(2) 連接OA、OB。因?yàn)樗倪呅蜛BCD是⊙O的內(nèi)接正方形，所以∠AOB=90°，OA=OB。又因?yàn)镋F是直徑，AD⊥EF，所以∠AOE=45°。在△AOE中，OA=OE，所以∠OAE=∠OEA=(180°-45°)/2=67.5°。因?yàn)锳D⊥EF，所以∠OAD=45°，則∠EAD=∠OAE - ∠OAD=67.5° - 45°=22.5°。同理，∠EBC=22.5°。 ∠EAD=22.5°，∠EBC=67.5°

$\sqrt{2}:1$

$(1) 設(shè)\odot O的半徑為R。$

$正六邊形AEFCGH的邊長(zhǎng)等于外接圓半徑，$

$故其邊長(zhǎng)a_6=R。$

$正方形ABCD的對(duì)角線為外接圓直徑2R，$

$設(shè)邊長(zhǎng)為a_4，由勾股定理得a_4^2+a_4^2=(2R)^2，$

$解得a_4=\sqrt{2}R。$

$則正方形與正六邊形邊長(zhǎng)之比為\sqrt{2}R:R=\sqrt{2}:1。$

$(2) 連接OA,OB,OE。$

$正六邊形中心角為\frac{360°}{6}=60°，故\angle AOE=60°。$

$正方形中心角為\frac{360°}{4}=90°，故\angle AOB=90°。$

$\angle BOE=\angle AOB-\angle AOE=90°-60°=30°。$

$\because\frac{360°}{30°}=12，\therefore BE是\odot O內(nèi)接正十二邊形的一邊，$

$n=12。$

【答案】：
B

【解析】：
①正多邊形的定義：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形，故①正確；②菱形各邊相等，但不是正多邊形，故②錯(cuò)誤；③矩形各角相等，但不是正多邊形，故③錯(cuò)誤；④圓的內(nèi)接多邊形各邊相等時(shí)，各邊所對(duì)的弧相等，從而各角也相等，所以是正多邊形，故④正確；⑤菱形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，但不是正多邊形，故⑤錯(cuò)誤。綜上，正確的說(shuō)法有①④，共2個(gè)。

【答案】：
正六邊形（或正三角形）

【解析】：
正多邊形繞中心旋轉(zhuǎn)重合的最小角度為$\frac{360^{\circ}}{n}$（$n$為邊數(shù)，$n\geq3$且為整數(shù)）。已知旋轉(zhuǎn)$60^{\circ}$重合，則$\frac{360^{\circ}}{n}$為$60^{\circ}$的約數(shù)，即$n=\frac{360^{\circ}}{k\cdot60^{\circ}}=\frac{6}{k}$（$k$為正整數(shù)）。當(dāng)$k=1$時(shí)，$n=6$；當(dāng)$k=2$時(shí)，$n=3$；當(dāng)$k=3$時(shí)，$n=2$（舍去）。故可能是正三角形或正六邊形。

【答案】：
是，是，不是

【解析】：
根據(jù)正多邊形的定義，正多邊形是各邊相等，各角也相等的多邊形。
正方形四邊相等，四個(gè)角均為$90^\circ$，滿足正多邊形的定義，所以正方形是正多邊形。
正三角形三條邊相等，三個(gè)角均為$60^\circ$，滿足正多邊形的定義，所以正三角形是正多邊形。
菱形雖然四邊相等，但其角不一定相等，不滿足正多邊形各角也相等的條件，所以菱形不是正多邊形。

【答案】：
$\frac{3\sqrt{2}}{2}cm$（或?qū)憺?\frac{3}{2}\sqrt{2}cm$，根據(jù)題目要求填半徑最小值對(duì)應(yīng)的答案形式，若為填空題則直接填數(shù)值）由于這里是填空（根據(jù)問(wèn)題描述），直接給數(shù)值形式：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（若需要簡(jiǎn)化成小數(shù)等，根據(jù)題目具體要求，這里保持根式）

【解析】：
要使圓形紙片完全蓋住邊長(zhǎng)為$3cm$的正方形，則圓形為正方形的外接圓，其直徑應(yīng)等于正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度。
由勾股定理，正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為：
$\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} (cm)$
因此，圓形紙片的最小半徑為對(duì)角線的一半：
$\frac{3\sqrt{2}}{2} cm$

【答案】：
B

【解析】：
設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為 $ x $。由于剪去的三個(gè)小等邊三角形全等，其邊長(zhǎng)也為 $ x $。原等邊三角形邊長(zhǎng)為12，每條邊上被剪去兩個(gè)小三角形的邊和中間正六邊形的邊，即 $ x + x + x = 12 $，解得 $ x = 4 $。

【答案】：
A

【解析】：
設(shè)正方形和正六邊形的周長(zhǎng)為$l$。
正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{l}{4}$，其面積$S_1 = \left( \frac{l}{4} \right)^2 = \frac{l^2}{16}$。
正六邊形邊長(zhǎng)為$\frac{l}{6}$，可分割為6個(gè)等邊三角形，每個(gè)三角形面積為$\frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{l}{6} \right)^2$，總面積$S_2 = 6 × \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{l}{6} \right)^2 = \frac{\sqrt{3} l^2}{24}$。
比較$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{l^2}{16}}{\frac{\sqrt{3} l^2}{24}} = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ＜ 1$，故$S_1 ＜ S_2$。

【答案】：
C

【解析】：
連接$OA$，$OC$，$OC$與$EF$交點(diǎn)為$H$。
$\triangle ABC$是$\odot O$內(nèi)接正三角形，
$\therefore \angle AOC = 120^{\circ}$。
四邊形$DEFG$是$\odot O$的內(nèi)接正方形，
$\therefore \angle EOF = 90^{\circ}$，$OH\bot EF$。
$\because EF// BC$，
$\therefore OH\bot BC$，
$\therefore$點(diǎn)$H$是$BC$中點(diǎn)，
$\therefore \angle AOH = \frac{1}{2}\angle AOC = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOF = \angle AOH + \angle HOF = 60^{\circ}+ 45^{\circ}= 135^{\circ}$。

【答案】：
(1) 作圖痕跡：以EF為直徑，過(guò)圓心O作EF的垂直平分線，交圓于兩點(diǎn)，再分別過(guò)EF上距O點(diǎn)等距的兩點(diǎn)作EF的垂線，交圓于A、D和B、C，順次連接A、B、C、D（保留作圖痕跡）。
(2) ∠EAD=22.5°，∠EBC=67.5°。

【解析】：

(1) 作圖痕跡如圖所示（此處需實(shí)際作圖，以EF為直徑作圓，作EF的垂直平分線交圓于A、C兩點(diǎn)，連接A、B、C、D得正方形ABCD，其中AD、BC垂直于EF）。
(2) 連接OA、OB。
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是⊙O的內(nèi)接正方形，所以∠AOB=90°，OA=OB。
又因?yàn)镋F是直徑，AD⊥EF，所以∠AOE=45°。
在△AOE中，OA=OE，所以∠OAE=∠OEA=(180°-45°)/2=67.5°。
因?yàn)锳D⊥EF，所以∠OAD=45°，則∠EAD=∠OAE - ∠OAD=67.5° - 45°=22.5°。
同理，∠EBC=22.5°。
∠EAD=22.5°，∠EBC=22.5°

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