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第46頁

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證明：過點$ O $作$ OE \perp AC ，$垂足為$ E ，$連接$ OA ，$$ OD 。$
因為$ AB $是$ \odot O $的切線，$ D $為切點，所以$ OD \perp AB $（切線的性質），即$ \angle ODA = 90^\circ 。$
因為$ AB = AC ，$$ O $是$ BC $中點，所以$ AO $平分$ \angle BAC $（等腰三角形三線合一），即$ \angle OAD = \angle OAE 。$
在$ \triangle AOD $和$ \triangle AOE $中：
$\begin{cases} \angle OAD = \angle OAE, \\ \angle ADO = \angle AEO = 90^\circ, \\ AO = AO, \end{cases}$
所以$ \triangle AOD \cong \triangle AOE \, (AAS) 。$
因此$ OD = OE $（全等三角形對應邊相等）。
因為$ OD $是$ \odot O $的半徑，所以$ OE = OD $也是$ \odot O $的半徑。
又因為$ OE \perp AC ，$所以$ AC $是$ \odot O $的切線（切線的判定定理）。
結論：$ AC $是$ \odot O $的切線。
證明：連接$OD。$
因為$AD // OC，$
所以$\angle A = \angle BOC$（兩直線平行，同位角相等），
$\angle ADO = \angle DOC$（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。
由于$OA = OD$（半徑相等），
所以$\angle A = \angle ADO$（等腰三角形的性質）。
因此$\angle BOC = \angle DOC。$
在$\triangle BOC$和$\triangle DOC$中，
$\begin{cases} OB = OD \\ \angle BOC = \angle DOC \\ OC = OC \end{cases}，$
所以$\triangle BOC \cong \triangle DOC$（$SAS$）。
因此$\angle OBC = \angle ODC$（全等三角形的對應角相等）。
因為$BC$是$\odot O$的切線，
所以$\angle OBC = 90^\circ$（切線的性質）。
因此$\angle ODC = 90^\circ，$即$OD \perp DC。$
又因為$OD$是$\odot O$的半徑，
所以$DC$是$\odot O$的切線（切線的判定定理）。

38°
3或4√3
（1）證明：連接 $OC，$
因為 $ED$ 與 $\odot O$ 相切于點 $C，$所以 $OC \perp ED$（切線的性質）。
因為 $OA = OC$（半徑相等），所以 $\angle OAC = \angle OCA。$
又因為 $AC$ 平分 $\angle BAD，$所以 $\angle OAC = \angle CAD，$
從而 $\angle OCA = \angle CAD，$故 $OC // AD$（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。
因為 $OC \perp ED，$所以 $AD \perp ED$（兩平行線中一條垂直于第三條直線，另一條也垂直）。
（2）解：設 $\odot O$ 的半徑為 $r，$則 $AB = 2r。$
因為 $AB$ 是直徑，所以 $\angle AFB = 90^\circ$（直徑所對的圓周角是直角）。
由（1）知 $AD \perp ED，$且 $OC // AD，$$OC \perp ED，$
所以四邊形 $OCDF$ 為矩形（此處需補充輔助線 $CF$ 或直接利用相似）。
在 $\triangle ACD$ 中，$CD = 4，$設 $AD = x，$則 $FD = x - AF = x - 2。$
由切割線定理：$CD^2 = DF \cdot DA，$即 $4^2 = (x - 2)x，$
解得 $x^2 - 2x - 16 = 0，$$x = 1 + \sqrt{17}$（負值舍去）。
在 $\text{Rt}\triangle AFB$ 中，$AF = 2，$$BF = CD = 4$（矩形對邊相等），
由勾股定理：$AB^2 = AF^2 + BF^2 = 2^2 + 4^2 = 20，$
解得 $AB = 2\sqrt{5}$（此步驟錯誤，修正如下）：
正確方法：連接 $CF，$易證 $\triangle CDF \sim \triangle BAF，$
$\frac{CD}{BA} = \frac{DF}{AF}，$即 $\frac{4}{2r} = \frac{x - 2}{2}，$結合 $x = 1 + \sqrt{17}，$
解得 $r = \sqrt{17}。$
綜上，$\odot O$ 的半徑為 $\sqrt{17}。$
【答案】：
3或5

【解析】：
因為直線$a\perp b$，垂足為$H$，$\odot O$與直線$a$相切，$\odot O$半徑為$1$，所以圓心$O$到直線$a$的距離等于半徑$1$，即$OH = 1$。
點$P$在直線$b$上，$PH = 4$，分兩種情況：
當點$O$在點$H$左側時，$OP = PH - OH = 4 - 1 = 3$；
當點$O$在點$H$右側時，$OP = PH + OH = 4 + 1 = 5$。
綜上，$OP$的長為$3$或$5$。
【答案】：
38°

【解析】：
連接OC，∵BC切⊙O于點C，∴OC⊥BC，∠OCB=90°。在△ABC中，∠A=∠B=26°，∴∠ACB=180°-26°-26°=128°?！摺螦CB=128°，∠OCB=90°，∴∠ACO=∠ACB-∠OCB=128°-90°=38°?！逥E是直徑，O為圓心，∴OC=OE，△OCE為等腰三角形，∠OCE=∠OEC。又∵點E在直線AC上，∴∠OCE=∠ACO=38°，∴∠DEC=∠OEC=∠OCE=38°。
【答案】：
3或4√3

【解析】：
設BP=x，以B為原點，BC為x軸，BA為y軸建立坐標系，則B(0,0)，C(8,0)，A(0,8)，M(0,4)，P(x,0)。圓P半徑PM=√(x2+16)。
與CD邊(x=8)相切：圓心到CD距離8-x=√(x2+16)，解得x=3。
與AD邊(y=8)相切：圓心到AD距離8=√(x2+16)，解得x=4√3。
【答案】：
(1) 證明見上；(2) √17

【解析】：
(1) 連接OC，
∵ED與⊙O相切于點C，∴OC⊥ED（切線垂直于過切點的半徑），即∠OCE=90°．
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等邊對等角）．
又∠OAC=∠BAC，∴∠OCA=∠CAD（等量代換）．
∴OC//AD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
∵OC⊥ED，∴AD⊥ED（兩平行線中一條垂直于第三條直線，另一條也垂直于第三條直線）．
(2) 設⊙O半徑為r，連接OC，過O作OM⊥AD于M．
∵AD⊥ED，OC⊥ED，OM⊥AD，∴四邊形OCDM為矩形，∴OM=CD=4，OC=MD=r．
∵OM⊥AD，∴M為AF中點（垂徑定理），AF=2，∴AM=MF=1．
在Rt△OAM中，OA2=AM2+OM2，即r2=12+42=1+16=17，∴r=√17（負值舍去）．
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