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第40頁(yè)

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62
20°
C
$證明;(1) 因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，即AC⊥BD。又因?yàn)镈C=CB，所以AC垂直平分BD，因此AD=AB，所以∠B=∠D。 $
$ (2) 設(shè)AC=x，則BC=x+2。因?yàn)锳B=4，∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理可得AC2+BC2=AB2，即x2+(x+2)2=42，展開(kāi)得x2+x2+4x+4=16，整理得2x2+4x-12=0，化簡(jiǎn)為x2+2x-6=0，解得x=-1±√7，因?yàn)殚L(zhǎng)度不能為負(fù)，所以AC=√7-1。因?yàn)椤螧=∠D，∠B=∠E，所以∠D=∠E，因此CE=CD。又因?yàn)镈C=CB，BC=AC+2=√7-1+2=√7+1，所以CE=√7+1。 $
3
A
32°
【答案】：
B

【解析】：
根據(jù)圓周角定理的推論，半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角。直角三角尺的直角頂點(diǎn)在圓弧上，若圓弧為半圓，則直角的兩邊應(yīng)分別經(jīng)過(guò)半圓的兩個(gè)端點(diǎn)。觀察各選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B中三角尺的直角頂點(diǎn)在圓弧上，且兩條直角邊與圓弧分別交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的連線為圓弧的直徑，故圓弧為半圓。
【答案】：
62

【解析】：
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°?！摺螦BC=28°，∴∠BAC=90°-28°=62°?！摺螧DC與∠BAC所對(duì)的弧都是弧BC，∴∠BDC=∠BAC=62°。
【答案】：
20°

【解析】：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC=70°，
∴∠ABC=∠ADC=70°（平行四邊形對(duì)角相等）。
∵BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，
∴∠BAE=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）。
∵點(diǎn)C在BE上，∴∠ABE=∠ABC=70°。
在Rt△ABE中，∠AEB=90°-∠ABE=90°-70°=20°。
【答案】：
C

【解析】：
連接OE，量角器中心為O，AB為直徑，故OA=OB=OE。點(diǎn)E對(duì)應(yīng)刻度52°，即圓心角∠BOE=52°。
弧BE所對(duì)圓周角∠BCE=1/2∠BOE=26°（圓周角定理）。
△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°。
∠BCD=∠ACB - ∠BCE=90° - 26°=64°。
【答案】：
(1)見(jiàn)解析；(2)CE=√7+1。

【解析】：
(1)∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=90°(直徑所對(duì)圓周角是直角)。
∵D在BC延長(zhǎng)線上，∴∠ACD=180°-∠ACB=90°。
∵DC=CB，∠ACD=∠ACB=90°，AC=AC，
∴△ACD≌△ACB(SAS)，∴∠D=∠B。
(2)設(shè)AC=x，BC=y，∵BC-AC=2，∴y=x+2。
∵AB是直徑，AB=4，∴∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+y2=16。
將y=x+2代入x2+y2=16，得x2+(x+2)2=16，
整理得2x2+4x-12=0，即x2+2x-6=0，
解得x=-1±√7，∵x＞0，∴x=√7-1，
∴y=x+2=√7+1，即BC=√7+1。
∵∠B=∠D(已證)，∠B=∠AEC(同弧AC所對(duì)圓周角相等)，
∴∠D=∠AEC=∠DEC，∴CE=CD。
∵DC=CB，∴CE=CB=√7+1。
【答案】：
3

【解析】：
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N，連接AB、AD。
由垂徑定理得：BM=CM，DN=EN=DE/2=3。
在Rt△ADN中，AD=5，DN=3，∴AN2=AD2-DN2=52-32=16，AN=4。
設(shè)∠BAC=α，則∠EAD=180°-α，∠BAM=α/2，∠DAN=(180°-α)/2=90°-α/2。
在Rt△ABM中，cos(α/2)=AM/AB=AM/5；在Rt△ADN中，cos(90°-α/2)=AN/AD=4/5，即sin(α/2)=4/5。
∵sin2(α/2)+cos2(α/2)=1，∴(4/5)2+(AM/5)2=1，解得AM=3。
【答案】：
A

【解析】：
連接AC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°。在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，由勾股定理得AC=√(AB2-BC2)=√(25-9)=4。∵P是$\overset{\frown}{BC}$上任意一點(diǎn)，當(dāng)P與C重合時(shí)，AP=AC=4；當(dāng)P與B重合時(shí)，AP=AB=5?！郃P長(zhǎng)度范圍為4≤AP≤5。選項(xiàng)中3不在此范圍，故選A。
【答案】：
32°

【解析】：
∵∠ABC=∠ADC=90°，E為AC中點(diǎn)，∴BE=AE=DE=AC/2（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），故A、B、C、D四點(diǎn)共圓，E為圓心，AC為直徑?！螧AD=58°，則弧BD所對(duì)圓周角為∠BAD=58°，所對(duì)圓心角∠BED=2∠BAD=116°?！連E=DE，∴△BED為等腰三角形，∠EBD=(180°-∠BED)/2=(180°-116°)/2=32°。
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