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第24頁

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解;$7(2x - 3)^{2}=28$
兩邊同除以7：$(2x - 3)^{2}=4$
開平方：$2x - 3=\pm 2$
解得：$2x=3+2$或$2x=3-2$
即$x_{1}=\frac{5}{2}，$$x_{2}=\frac{1}{2}$
$解：y^{2}-2y - 399=0$
移項：$y^{2}-2y=399$
配方：$y^{2}-2y + 1=399 + 1，$即$(y - 1)^{2}=400$
開平方：$y - 1=\pm 20$
解得：$y=1+20$或$y=1-20$
即$y_{1}=21，$$y_{2}=-19$
解：$2x^{2}+1=2\sqrt{5}x$
移項：$2x^{2}-2\sqrt{5}x + 1=0$
$a=2，$$b=-2\sqrt{5}，$$c=1$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{5})^{2}-4×2×1=20 - 8=12$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\sqrt{5}\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{2\sqrt{5}\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{3}}{2}$
即$x_{1}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}，$$x_{2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
解：$(2x + 1)^{2}+3(2x + 1)+2=0$
設$t=2x + 1，$則$t^{2}+3t + 2=0$
因式分解：$(t + 1)(t + 2)=0$
解得$t=-1$或$t=-2$
當$t=-1$時，$2x + 1=-1，$$x=-1$
當$t=-2$時，$2x + 1=-2，$$x=-\frac{3}{2}$
即$x_{1}=-1，$$x_{2}=-\frac{3}{2}$
解：（1）$\because$關于$x$的一元二次方程$(m + 1)x^{2}-2x - 1 = 0$有兩個不相等的實數(shù)根，$\therefore \begin{cases}m + 1\neq 0,\\\Delta=(-2)^{2}-4\times (m + 1)\times (-1)＞0.\end{cases}$由$m + 1\neq 0，$得$m\neq -1；$由$\Delta = 4 + 4(m + 1)＞0，$即$4 + 4m + 4＞0，$$4m + 8＞0，$$4m＞-8，$得$m ＞ - 2。$$\therefore m$的取值范圍是$m ＞ - 2$且$m\neq -1。$
（2）$\because x = 1$是方程$(m + 1)x^{2}-2x - 1 = 0$的一個根，$\therefore$把$x = 1$代入方程得$(m + 1)-2 - 1 = 0，$$m + 1 - 2 - 1 = 0，$$m - 2 = 0，$解得$m = 2。$把$m = 2$代入原方程得$3x^{2}-2x - 1 = 0，$設方程的另一個根為$x_{1}，$由根與系數(shù)的關系$x\cdot x_{1}=-\frac{1}{3}$（$x = 1$），則$1\times x_{1}=-\frac{1}{3}，$解得$x_{1}=-\frac{1}{3}。$$\therefore m$的值為$2，$另一個根為$-\frac{1}{3}。$
解：(1)對于一元二次方程$x^{2}-6x + k = 0，$$x_{1}+x_{2}=-\frac{a}=6，$$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=k。$
因為$x_{1}$、$x_{2}$是實數(shù)根，所以判別式$\Delta =b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4k\geqslant0，$即$k\leqslant9。$
已知$x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}-x_{2}=115，$將$x_{1}x_{2}=k，$$x_{1}+x_{2}=6$代入可得：
$k^{2}-6 = 115，$
$k^{2}=121，$
解得$k=\pm11。$
又因為$k\leqslant9，$所以$k = - 11。$
(2)根據(jù)完全平方公式$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}。$
把$x_{1}+x_{2}=6，$$x_{1}x_{2}=-11$代入可得：
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6^{2}-2\times(-11)=36 + 22=58。$
則$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+8=58 + 8=66。$
$ 綜上， $
(1)$k=-11；$
(2)$66。$
$ 證明： $
1. 當$k = 0$時，方程化為$x + 2 = 0，$解得$x=-2，$有實數(shù)根。
2. 當$k\neq0$時，方程為一元二次方程，判別式$b2-4ac=(2k + 1)^2-4\times k\times2=4k^2 + 4k + 1-8k=4k^2-4k + 1=(2k - 1)^2\geq0，$方程有兩個實數(shù)根。
綜上，無論$k$取任何實數(shù)，該方程總有實數(shù)根。
1
-2
$解;(1) x^3 + x^2 - 2x = 0因式分解得x(x^2 + x - 2) = 0，解方程x^2 + x - 2 = 0，因式分解為$
$(x + 2)(x - 1) = 0，得x = -2或x = 1，故原方程根為x_1 = 0，x_2 = 1，x_3 = -2。$
$(2) \sqrt{2x + 3} = x，兩邊平方得2x + 3 = x^2，整理得x^2 - 2x - 3 = 0，因式分解$
$(x - 3)(x + 1) = 0，解得x = 3或x = -1。檢驗：當x = 3時，左邊\sqrt{2×3 + 3} = 3，$
$右邊3，成立；當x = -1時，左邊\sqrt{2×(-1) + 3} = 1，右邊-1，不成立，舍去。$
$故方程的解為x = 3。$
【答案】：
(1)B
(2)B
(3)D

【解析】：
(1)
A 選項：方程$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 0$中，$\frac{1}{x^{2}}$不是整式，該方程是分式方程，不是一元二次方程。
B 選項：將$(x - 1)(x + 2)= 3$展開得$x^{2}+2x - x - 2 = 3$，即$x^{2}+x - 5 = 0$，符合一元二次方程的定義。
C 選項：當$a = 0$時，方程$ax^{2}+bx + c = 0$變?yōu)?bx + c = 0$，是一元一次方程，不一定是一元二次方程。
D 選項：方程$x^{2}-2xy - 3y^{2}= 0$含有兩個未知數(shù)$x$和$y$，是二元二次方程，不是一元二次方程。
(2)
對$x^{2}+8x + 7 = 0$進行配方，$x^{2}+8x=-7$，在等式兩邊加上$16$得$x^{2}+8x + 16 = 9$，即$(x + 4)^{2}= 9$。
(3)
對于一元二次方程$x^{2}+2x + 2 = 0$，其判別式$\Delta = 2^{2}-4×1×2=4 - 8=-4\lt0$，所以方程無實數(shù)根。
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