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B

1

-2

4

1

 解：對于方程 $x^{2} - 2x + 1 = 0，$其中 $a = 1, b = -2, c = 1。$根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有：$x_{1} + x_{2} = -\frac{a} = 2，$$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = 1。$

 解：對于方程 $2x^{2} + 3x = 0，$其中 $a = 2, b = 3, c = 0。$根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有：$x_{1} + x_{2} = -\frac{a} = -\frac{3}{2}，$$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = 0。$

 解：首先，將方程 $3x^{2} - 2x = 2$ 化為標(biāo)準(zhǔn)形式：$3x^{2} - 2x - 2 = 0，$其中 $a = 3, b = -2, c = -2。$根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有：$x_{1} + x_{2} = -\frac{a} = \frac{2}{3}，$$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = -\frac{2}{3}。$

 解：對于方程 $6x^{2} - 1 = 0，$其中 $a = 6, b = 0, c = -1。$根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有：$x_{1} + x_{2} = -\frac{a} = 0，$$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = -\frac{1}{6}。$

解; 將$x = 1$代入方程$3x^{2} - 19x + m = 0，$

得：$3×(1)^2 - 19×(1) + m = 0，$$3 - 19 + m = 0，$ 

解得$m = 16。$

設(shè)方程的另一個根為$x_1，$由根與系數(shù)的關(guān)系，得$1 + x_1 = \frac{19}{3}，$$x_1 = \frac{19}{3} - 1 = \frac{16}{3}。$ 

所以，另一個根為$\frac{16}{3}，$$m$的值為$16。$

3

$解：(1)∵方程有實(shí)數(shù)根，$

$∴判別式b2-4ac=≥0。$

$對于方程x^2 - 6x + (2m + 1) = 0，a=1，b=-6，c=2m + 1，$

$b2-4ac==(-6)^2 - 4×1×(2m + 1)=36 - 8m - 4=32 - 8m。$

$由b2-4ac=≥0得32 - 8m≥0，解得m≤4。$

$(2) 由根與系數(shù)關(guān)系，x_1 + x_2=6，x_1x_2=2m + 1。$

$代入2x_1x_2 + x_1 + x_2≥20，得2(2m + 1) + 6≥20，$

$化簡得4m + 2 + 6≥20，4m≥12，解得m≥3。$

$$結(jié)合 (1)中m≤4，故3≤m≤4$$

【答案】：
B

【解析】：
對于有兩個根分別為 $-\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$ 的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,可知該方程為：
$(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) = 0$。
展開得：
$x^2 - \frac{1}{4} = 0$
乘以4得：
$4x^2 - 1 = 0$
與選項(xiàng)B相匹配。

【答案】：
(1) $1$，$-2$；(2) $4$，$1$

【解析】：
(1)將方程$x(x - 1) = 2$化為一般形式：$x^{2}-x - 2 = 0$。
對于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的兩根為$x_1$和$x_2$，根據(jù)韋達(dá)定理可知$x_{1}+x_{2}=-\frac{a}$，$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-x - 2 = 0$中，$a = 1$，$b=-1$，$c = - 2$，所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{-1}{1}=1$，$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{-2}{1}=-2$。
(2)對于方程$x^{2}-mx + n = 0$，其中$a = 1$，$b=-m$，$c = n$，兩根分別為$x_1 = 2+\sqrt{3}$，$x_2 = 2-\sqrt{3}$。
根據(jù)韋達(dá)定理$x_{1}+x_{2}=-\frac{a}=m$，則$m=(2+\sqrt{3})+(2 - \sqrt{3})=4$；
$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}=n$，則$n=(2+\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})=2^{2}-(\sqrt{3})^{2}=4 - 3 = 1$。

【答案】：
(1)$m≤4$；(2)$3≤m≤4$。

【解析】：
(1) ∵方程有實(shí)數(shù)根，∴判別式Δ≥0。
對于方程$x^2 - 6x + (2m + 1) = 0$，$a=1$，$b=-6$，$c=2m + 1$，
Δ$=(-6)^2 - 4×1×(2m + 1)=36 - 8m - 4=32 - 8m$。
由Δ≥0得$32 - 8m≥0$，解得$m≤4$。
(2) 由根與系數(shù)關(guān)系，$x_1 + x_2=6$，$x_1x_2=2m + 1$。
代入$2x_1x_2 + x_1 + x_2≥20$，得$2(2m + 1) + 6≥20$，
化簡得$4m + 2 + 6≥20$，$4m≥12$，解得$m≥3$。
結(jié)合(1)中$m≤4$，故$3≤m≤4$。

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