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電子課本網(wǎng) 第13頁

第13頁

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$ 解一元二次方程的方法及對應(yīng)方程特點(diǎn)如下: $
1. 直接開平方法:適用于形如$x^2 = a(a \geq 0)$或$(x + m)^2 = n(n \geq 0)$的方程。例:$x^2 = 4,$解得$x = \pm 2。$
2. 配方法:適用于所有一元二次方程,尤其二次項系數(shù)為1且一次項系數(shù)為偶數(shù)時較簡便。例:$x^2 + 4x - 5 = 0,$配方得$(x + 2)^2 = 9,$解得$x_1 = 1,$$x_2 = -5。$
3. 公式法:適用于所有一元二次方程,求根公式為$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}(b^2 - 4ac \geq 0)。$例:$2x^2 - 3x - 1 = 0,$其中$a = 2,$$b = -3,$$c = -1,$解得$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}。$
4. 因式分解法:適用于方程一邊為0,另一邊能分解成兩個一次因式乘積的形式。例:$x^2 - 3x = 0,$分解為$x(x - 3) = 0,$解得$x_1 = 0,$$x_2 = 3。$
解:$ 根據(jù)平方根的定義,$
若$a^2 = b,$則$a = \pm\sqrt。$
對于方程$(x + 2)^2 = 1,$可得$x + 2 = \pm1。$
當(dāng)$x + 2 = 1$時,$x = 1 - 2 = -1;$
當(dāng)$x + 2 = -1$時,$x = -1 - 2 = -3。$
所以方程的解為$x_1 = -1,$$x_2 = -3。$
解:移項得$x^2 - x = 0,$
提取公因式$x,$可得x(x - 1) = 0。
則$x = 0$或$x - 1 = 0,$
解得$x_1 = 0,$$x_2 = 1。$
解:根據(jù)“若$ab = 0,$則$a = 0$或$b = 0$”,對于方程$(x - 2)(x + 1) = 0,$有$x - 2 = 0$或$x + 1 = 0。$當(dāng)$x - 2 = 0$時,$x = 2;$當(dāng)$x + 1 = 0$時,$x = -1。$所以方程的解為$x_1 = 2,$$x_2 = -1。$
解:①方程$(x + 2)^2 = 1$可用直接開平方法,因?yàn)槠浞?a^2 = b$($b\geq0$)的形式,根據(jù)平方根定義求解。
②方程$x^2 = x$可用因式分解法,移項后提取公因式化為$x(x - 1) = 0,$再根據(jù)“若$ab = 0,$則$a = 0$或$b = 0$”求解;也可用公式法,將其化為一般形式$x^2 - x = 0,$其中$a = 1,$$b = -1,$$c = 0,$代入求根公式$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$計算得$x_1 = 0,$$x_2 = 1。$
③方程$(x - 2)(x + 1) = 0$可用因式分解法,直接根據(jù)“若$ab = 0,$則$a = 0$或$b = 0$”求解;也可用公式法,化為一般形式$x^2 - x - 2 = 0,$其中$a = 1,$$b = -1,$$c = -2,$代入求根公式可得$x_1 = 2,$$x_2 = -1。$
用因式分解法求解一元二次方程的步驟如下:1. 將方程化為一般形式 $ax^{2} + bx + c = 0;$2. 通過因式分解,將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積 $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ 的形式;3. 根據(jù)零因子定理,若兩數(shù)之積為0,則至少有一個數(shù)為0,得到 $x - x_1 = 0$ 或 $x - x_2 = 0;$4. 求解得到方程的兩個根 $x_1,x_2。$例如,對于方程 $x^{2} - 5x + 6 = 0$:因式分解為 $(x - 2)(x - 3) = 0;$解得 $x_1 = 2,$$x_2 = 3。$
解:利用平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b),$對$(3x - 1)^2-4x^2 = 0$進(jìn)行因式分解,這里$a = 3x-1,$$b = 2x,$則有$(3x - 1 + 2x)(3x - 1-2x)=0,$即$(5x - 1)(x - 1)=0,$所以$5x - 1 = 0$或$x - 1 = 0,$當(dāng)$5x - 1 = 0$時,$x_1=\frac{1}{5};$當(dāng)$x - 1 = 0$時,$x_2 = 1。$
解:移項可得$3x^2-2x = 0,$提取公因式$x,$得到$x(3x - 2)=0,$則$x = 0$或$3x - 2 = 0,$當(dāng)$x = 0$時,$x_1 = 0;$當(dāng)$3x - 2 = 0$時,$x_2=\frac{2}{3}。$
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