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第125頁

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解：
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°。
∵OA=OB，∠BAC=40°，
∴∠OBA=∠BAC=40°。
∴∠AOB=180°-∠BAC-∠OBA=100°。
∵∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=80°。
解：連接$OB，$作$OE\perp AB$交$AB$于點$E。$
因為$AB$與小半圓相切且$OE\perp AB，$所以$OE$為小半圓的半徑。
根據(jù)垂徑定理，垂直于弦的直徑平分弦，可得$AE = EB=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2} = 8\,\text{cm}。$
設(shè)大半圓半徑為$R，$小半圓半徑為$r。$在$Rt\triangle OEB$中，由勾股定理得$OB^{2}=OE^{2}+EB^{2}，$即$R^{2}=r^{2}+8^{2}。$
陰影部分的面積$S_{\text{陰影}}=S_{\text{大半圓}}-S_{\text{小半圓}}。$
因為$S_{\text{大半圓}}=\frac{1}{2}\pi R^{2}，$$S_{\text{小半圓}}=\frac{1}{2}\pi r^{2}，$所以$S_{\text{陰影}}=\frac{1}{2}\pi(R^{2}-r^{2})。$
將$R^{2}=r^{2}+8^{2}$代入上式，可得$S_{\text{陰影}}=\frac{1}{2}\pi\times64 = 32\pi\,\text{cm}^{2}。$
答：圖中陰影部分的面積為$32\pi\,\text{cm}^{2}。$
解：正方形邊長為 $a，$其中心 $O$ 到各頂點的距離為對角線的一半，即 $\frac{\sqrt{2}}{2}a。$
翻滾一周過程中，中心 $O$ 經(jīng)過4段等長的圓弧，每段圓弧的圓心角為 $90^\circ$（即 $\frac{\pi}{2}$ 弧度）。
每段圓弧長為：$\frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{\pi \sqrt{2}}{4}a$
4段圓弧總長為：$4 \times \frac{\pi \sqrt{2}}{4}a = \sqrt{2}\pi a$
答：正方形的中心 $O$ 所經(jīng)過的路徑長為 $\sqrt{2}\pi a。$
直線FC與$\odot O$相切，理由如下：
連接OC。
∵AB是$\odot O$的直徑，AB⊥CD，
∴$\angle AEC=90^\circ，$$\angle ACE+\angle CAE=90^\circ。$
∵△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴$\angle FCA=\angle ACE。$
∵OA=OC，
∴$\angle CAO=\angle ACO。$
∴$\angle FCA+\angle ACO=\angle ACE+\angle CAE=90^\circ，$即$\angle FCO=90^\circ。$
∵OC是$\odot O$的半徑，
∴直線FC與$\odot O$相切。
解：直線FC與$\odot O$相切，理由如下：
連接OC。
∵AB是$\odot O$的直徑，AB⊥CD，
∴$\angle AEC=90^\circ$，$\angle ACE+\angle CAE=90^\circ$。
∵△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴$\angle FCA=\angle ACE$。
∵OA=OC，
∴$\angle CAO=\angle ACO$。
∴$\angle FCA+\angle ACO=\angle ACE+\angle CAE=90^\circ$，即$\angle FCO=90^\circ$。
∵OC是$\odot O$的半徑，
∴直線FC與$\odot O$相切。
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