【解析】：
本題主要考查了勾股定理以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。
首先，根據(jù)題目條件，已知$a+b=2$，且$a$、$b$為正數(shù)。
接著，為了求解$\sqrt{4+a^2}+\sqrt{1+b^2}$的最小值，可以構(gòu)造一個圖形，其中線段$AB$的長度為2，$AP$的長度為$a$，$BP$的長度為$b$。
然后，分別作$AC$垂直于$AB$且長度為2，$BD$垂直于$AB$且長度為1。
根據(jù)勾股定理，可以計算出$PC$和$PD$的長度，分別為$\sqrt{4+a^2}$和$\sqrt{1+b^2}$。
當(dāng)點$P$與點$C$、$D$在同一直線上時，$PC+PD$的值最小，即等于線段$CD$的長度。
為了求出$CD$的長度，可以再構(gòu)造一個與圖形相關(guān)的直角三角形。
作$DE$平行于$BA$交$CA$的延長線于點$E$，這樣$DE$的長度就等于$AB$的長度，即2；
$CE$的長度等于$CA$與$AE$的和，即3。
最后，利用勾股定理求出$CD$的長度，即$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。
所以，$\sqrt{4+a^2}+\sqrt{1+b^2}$的最小值為$\sqrt{13}$。
【答案】：
$\sqrt{13}$。

(1) 解：因為 BD=8，CD=x，所以 BC=BD-CD=8-x。
因為 AB⊥BD，AB=5，所以在 Rt△ABC 中，AC=$\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{5^2+(8-x)^2}=\sqrt{(8-x)^2 + 25}$。
因為 ED⊥BD，DE=1，所以在 Rt△CDE 中，CE=$\sqrt{CD^2 + DE^2}=\sqrt{x^2 + 1^2}=\sqrt{x^2 + 1}$。
所以 AC+CE=$\sqrt{(8 - x)^2 + 25}+\sqrt{x^2 + 1}$。
(2) 解：作點 A 關(guān)于直線 BD 的對稱點 A'，連接 A'E 交 BD 于點 C，此時 AC+CE 的值最小，最小值為 A'E 的長。
因為點 A 與 A'關(guān)于 BD 對稱，AB=5，所以 A'B=AB=5，∠A'BD=∠ABD=90°，所以 A'，B，D 三點共線，且 A'D=A'B + BD=5 + 8=13？（此處錯誤，應(yīng)為 A'在 AB 延長線上，A'B=AB=5，所以 A'到 D 的水平距離為 BD=8，垂直距離為 A'B + DE=5 + 1=6？不，重新構(gòu)建：過點 A'作 A'F⊥ED 交 ED 的延長線于點 F。
則 A'F=BD=8，EF=DE + A'B=1 + 5=6。
在 Rt△A'FE 中，A'E=$\sqrt{A'F^2 + EF^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10$。
所以 AC+CE 的最小值為 10。
(3) 解：構(gòu)造直角梯形，使上底為 2，下底為 3，高為 12。設(shè)梯形的下底左端點為 B，右端點為 D，上底左端點為 A，右端點為 E，AB⊥BD，DE⊥BD，AB=2，DE=3，BD=12，設(shè) CD=x，則 BC=12 - x。
此時 AC=$\sqrt{BC^2 + AB^2}=\sqrt{(12 - x)^2 + 2^2}=\sqrt{(12 - x)^2 + 4}$，CE=$\sqrt{CD^2 + DE^2}=\sqrt{x^2 + 3^2}=\sqrt{x^2 + 9}$，所以代數(shù)式$\sqrt{x^2 + 4}+\sqrt{(12 - x)^2 + 9}$的最小值即為 AC+CE 的最小值。
作點 A 關(guān)于 BD 的對稱點 A'，連接 A'E 交 BD 于點 C，A'E 的長即為最小值。
過 A'作 A'F⊥ED 延長線于 F，則 A'F=BD=12，EF=DE + A'B=3 + 2=5。
在 Rt△A'FE 中，A'E=$\sqrt{A'F^2 + EF^2}=\sqrt{12^2 + 5^2}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
所以代數(shù)式的最小值為 13。