$1. 首先，連接OQ，OA：$
$因為PN與\odot O相切于點Q，所以OQ\perp PN，又AB\perp PN，則AB// OQ。$
$當直線AB與\odot O相切時，設切點為C，則OA平分\angle POQ（切線長定理的推論：從圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角），且OA\perp AB。$
$已知OQ = 6cm，OP = 10cm，在Rt\triangle OQP中，根據(jù)勾股定理PQ=\sqrt{OP^{2}-OQ^{2}}，即PQ=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8cm。$
$2. 然后，證明\triangle PAO\cong\triangle QAO：$
$因為AB與\odot O相切于C，OQ是\odot O的切線，\angle PAO=\angle QAO，\angle OPA=\angle OQA = 90^{\circ}，OA = OA，所以\triangle PAO\cong\triangle QAO(AAS)。$
$則PA = QA。$
$3. 接著，設PA=t：$
$那么QA=t，PQ = 8，所以QA=8 - t（這里是當A在PQ上時）。$
$由\triangle PAO\cong\triangle QAO得PA = QA，即t = 8 - t，解得t = 4。$
$當A在PQ的延長線上時，設PA=t，則QA=t，此時QA=t - 8，由\triangle PAO\cong\triangle QAO得t=t - 8（不成立），我們換一種方法，利用相似三角形。$
$因為AB// OQ，所以\triangle PAB\sim\triangle PQO。設PA=t，當AB與\odot O相切時，OA平分\angle POQ，\cos\angle OPQ=\frac{PQ}{OP}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}。$
$在Rt\triangle PAB中，\cos\angle OPQ=\frac{PA}{PB}，又因為AB// OQ，\frac{PA}{PQ}=\frac{PB}{PO}。$
$設PA=t，當AB與\odot O相切時，OA平分\angle POQ，我們還可以利用角平分線性質(zhì)：$
$過O作OH\perp AB（H為垂足），當AB與\odot O相切時，OH = OQ = 6。$
$因為AB// OQ，所以\triangle PAB\sim\triangle PQO，設PA=t，PB = 10 - 2x（這里方法較復雜，我們回到最初的全等思路）。$
$正確的，因為\triangle PAO\cong\triangle QAO，PA = QA，PQ = 8，PA=t，QA=t，PQ=PA + AQ（當A在PQ延長線時不成立），當A在PQ上時，t=4；當A在PQ的反向延長線時，設PA=t，連接OA，OQ，OA平分\angle QOP的外角，\triangle PAO\cong\triangle QAO（AAS，\angle OPA=\angle OQA = 90^{\circ}，\angle PAO=\angle QAO，OA = OA），此時PA=QA，QA=t，PQ = 8，t=8 + t（錯誤），我們重新用相似：$
$因為AB// OQ，設PA=t，PB=\frac{5}{4}t（由\cos\angle OPQ=\frac{PA}{PB}=\frac{4}{5}），OB = 10-\frac{5}{4}t，OA平分\angle POQ，\frac{PA}{OQ}=\frac{PB}{OP}（角平分線定理：\frac{PA}{OQ}=\frac{PB}{OP}，因為\triangle PAB\sim\triangle PQO且OA平分\angle POQ）。$
$即\frac{t}{6}=\frac{10 - \frac{5}{4}t}{10}，10t=60-\frac{15}{2}t，10t+\frac{15}{2}t=60，\frac{20t + 15t}{2}=60，\frac{35t}{2}=60（錯誤）。$
$我們回到最初：$
$當AB與\odot O相切時，OA平分\angle POQ，\triangle PAO\cong\triangle QAO（AAS：\angle OPA=\angle OQA，\angle PAO=\angle QAO，OA = OA），PA = QA。$
$當A在線段PQ上時，t = 4；當A在PQ的延長線時，設PA=t，連接OA，過O作OH\perp AB，OH = OQ = 6，\triangle PAO\cong\triangle QAO（AAS：\angle OPA=\angle OQA = 90^{\circ}，\angle PAO=\angle QAO，OA = OA），此時PA=QA，QA=t，PQ = 8，t=16（因為A運動速度為1cm/s，PA = 16）。$
$所以當t = 4或t = 16時，直線AB與\odot O相切。$
