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點$O$在$\odot A$上。
①③
$20^{\circ}$
$2\sqrt{2}$
$36^{\circ}$或$144^{\circ}$
解：連接AC。
因為$\overset{\frown}{BC}$的度數為$80^\circ，$所以$\angle BAC=\frac{1}{2}\times80^\circ=40^\circ。$
因為$\angle CEB=60^\circ，$$\angle CEB$是$\triangle AEC$的外角，所以$\angle CEB=\angle BAC+\angle ACD，$即$60^\circ=40^\circ+\angle ACD，$解得$\angle ACD=20^\circ。$
所以$\overset{\frown}{AD}$的度數$=2\angle ACD=2\times20^\circ=40^\circ。$
答：$\overset{\frown}{AD}$的度數為$40^\circ。$
$（1）判斷點與圓的位置關系，需比較點到圓心的距離$$d$$與圓半徑$$r$$的大?。?
$當$$d\gt r$$時，點在圓外；$
$當$$d = r$$時，點在圓上；$
$當$$d\lt r$$時，點在圓內。$
$已知以點$$A$$為圓心，$$4cm$$長為半徑作$$\odot A$$，即$$r = 4cm$$。$
$因為$$AB = 4cm$$，所以點$$B$$到圓心$$A$$的距離$$d_{AB}=AB = 4cm$$，比較$$d_{AB}$$與$$r$$的大?。?$d_{AB}=r = 4cm$$，根據上述點與圓的位置關系可知，點$$B$$在$$\odot A$$上。$
$已知$$AC = 6cm$$，所以點$$C$$到圓心$$A$$的距離$$d_{AC}=AC = 6cm$$，比較$$d_{AC}$$與$$r$$的大?。?$d_{AC}=6cm\gt r = 4cm$$，根據上述點與圓的位置關系可知，點$$C$$在$$\odot A$$外。$
$因為$$\angle BAC = 90^{\circ}$$，$$M$$是$$BC$$的中點，根據直角三角形斜邊中線定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。$
$在$$Rt\triangle ABC$$中，$$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{16 + 36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}cm$$，則$$AM=\frac{1}{2}BC=\sqrt{13}cm$$。$
$所以點$$M$$到圓心$$A$$的距離$$d_{AM}=AM=\sqrt{13}cm$$，比較$$d_{AM}$$與$$r$$的大?。?$d_{AM}=\sqrt{13}cm\approx 3.61cm\lt r = 4cm$$，根據上述點與圓的位置關系可知，點$$M$$在$$\odot A$$內。$
$（2）要使$$B$$、$$C$$、$$M$$三點中至少有一點在圓內，且至少有一點在圓外，需分別找出$$B$$、$$C$$、$$M$$到點$$A$$的距離：$
$由（1）可知$$AB = 4cm$$，$$AC = 6cm$$，$$AM=\sqrt{13}cm$$。$
$因為$$\sqrt{13}\lt 4\lt 6$$，即$$AM\lt AB\lt AC$$。$
$要使至少有一點在圓內，則半徑$$r$$要大于$$AM$$的長度，即$$r\gt\sqrt{13}cm$$；$
$要使至少有一點在圓外，則半徑$$r$$要小于$$AC$$的長度，即$$r\lt 6cm$$。$
$所以$$\sqrt{13}cm\lt r\lt 6cm$$。$
$【答案】：（1）點$$B$$在$$\odot A$$上，點$$C$$在$$\odot A$$外，點$$M$$在$$\odot A$$內；$
$（2）$$\sqrt{13}cm\lt r\lt 6cm$$。$
解：連接AC。
因為⌒BC的度數為80°，所以∠BAC=1/2×80°=40°。
因為∠CEB=60°，∠CEB是△AEC的外角，所以∠CEB=∠BAC+∠ACD，即60°=40°+∠ACD，解得∠ACD=20°。
所以⌒AD的度數=2∠ACD=2×20°=40°。
答：⌒AD的度數為40°。
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