解：（1）已知圓錐底面半徑$r = 10\ \text{cm}，$高$h = 10\sqrt{15}\ \text{cm}。$
首先求圓錐的母線長$l，$根據(jù)勾股定理$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}，$可得：
$\begin{aligned}l&=\sqrt{10^{2}+(10\sqrt{15})^{2}}\\&=\sqrt{100 + 100\times15}\\&=\sqrt{100+1500}\\&=\sqrt{1600}\\& = 40\ \text{cm}\end{aligned}$
圓錐的底面積$S_{\text{底}}=\pi r^{2}=\pi\times10^{2} = 100\pi\ \text{cm}^{2}。$
圓錐的側面積$S_{\text{側}}=\pi rl=\pi\times10\times40 = 400\pi\ \text{cm}^{2}。$
所以圓錐的全面積$S_{\text{全}}=S_{\text{底}}+S_{\text{側}}=100\pi + 400\pi=500\pi\ \text{cm}^{2}。$
（2）沿母線$SA$將圓錐的側面展開，線段$AM$的長就是螞蟻所走的最短距離。
由（1）知$SA = 40\ \text{cm}，$底面圓的周長為$2\pi r=2\pi\times10 = 20\pi\ \text{cm}，$即展開圖中弧$AA'$的長為$20\pi\ \text{cm}。$
設展開圖扇形的圓心角為$n^{\circ}，$根據(jù)弧長公式$\dfrac{n\pi l}{180}=20\pi$（其中$l = SA=40\ \text{cm}$），可得：
$\dfrac{n\pi\times40}{180}=20\pi$
解得$n=\dfrac{180\times20\pi}{40\pi}=90^{\circ}，$即$\angle ASA' = 90^{\circ}。$
因為$SA'=SA = 40\ \text{cm}，$且$SM = 3A'M，$又因為$SA'=SM + A'M，$所以$SM+A'M=40\ \text{cm}，$將$SM = 3A'M$代入可得$3A'M+A'M=40\ \text{cm}，$即$4A'M = 40\ \text{cm}，$所以$A'M=10\ \text{cm}，$則$SM=3\times10 = 30\ \text{cm}。$
在$Rt\triangle ASM$中，$SA = 40\ \text{cm}，$$SM = 30\ \text{cm}，$根據(jù)勾股定理可得：
$AM=\sqrt{SA^{2}+SM^{2}}=\sqrt{40^{2}+30^{2}}=\sqrt{1600 + 900}=\sqrt{2500}=50\ \text{cm}$
所以，螞蟻所走的最短距離是$50\ \text{cm}。$
綜上，（1）圓錐的全面積為$500\pi\ \text{cm}^{2}；$（2）螞蟻所走的最短距離是$50\ \text{cm}。$
