解：作$OC \perp AB$于$O，$則$OC$為兩個(gè)圓錐共同的底面半徑。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 3\ \mathrm{cm}，$$BC = 4\ \mathrm{cm}，$根據(jù)勾股定理可得斜邊$AB$的長(zhǎng)度為：
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5\ \mathrm{cm}$
因?yàn)?\triangle ABC$的面積可以表示為$\frac{1}{2}AC\cdot BC，$也可以表示為$\frac{1}{2}AB\cdot OC，$所以：
$\frac{1}{2}\times3\times4=\frac{1}{2}\times5\times OC$
解得$OC=\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}。$
以$AC$為母線的圓錐側(cè)面積為：
$\frac{1}{2}\times2\pi\times OC\times AC=\frac{1}{2}\times2\pi\times\frac{12}{5}\times3=\frac{36}{5}\pi\ \mathrm{cm}^2$
以$BC$為母線的圓錐側(cè)面積為：
$\frac{1}{2}\times2\pi\times OC\times BC=\frac{1}{2}\times2\pi\times\frac{12}{5}\times4=\frac{48}{5}\pi\ \mathrm{cm}^2$
該幾何體的表面積為兩個(gè)圓錐側(cè)面積之和，即：
$\frac{36}{5}\pi+\frac{48}{5}\pi=\frac{84}{5}\pi\ \mathrm{cm}^2$
答：該幾何體的表面積為$\frac{84}{5}\pi\ \mathrm{cm}^2。$
