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電子課本網(wǎng) 第62頁

第62頁

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解:設(shè)大圓半徑為$R,$小圓半徑為$r。$
因?yàn)橐?O$為圓心的兩個(gè)同心圓中,大圓的弦$AB$切小圓于點(diǎn)$C,$
所以$OC \perp AB$(切線垂直于過切點(diǎn)的半徑)。
又因?yàn)橄?AB$的長(zhǎng)為$d,$根據(jù)垂徑定理,$OC$垂直平分$AB,$
所以$BC = \frach8xf99z8w{2}。$
在$Rt\triangle OCB$中,由勾股定理得:$OB^2 = OC^2 + BC^2,$即$R^2 = r^2 + \left(\frach8xf99z8w{2}\right)^2,$
因此$R^2 - r^2 = \left(\frach8xf99z8w{2}\right)^2。$
圓環(huán)面積$S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = \pi \left(\frach8xf99z8w{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}。$
故圓環(huán)面積$S$與$d$之間的數(shù)量關(guān)系為$S = \frac{\pi d^2}{4}。$
$2\pi - 4$
12π
解:連接$OF。$
因?yàn)樗倪呅?CDEF$是正方形,所以$CD = DE = EF,$$\angle CDE = 90^\circ,$$\angle OEF = 90^\circ,$則$\angle CDO = 180^\circ - \angle CDE = 90^\circ。$
又因?yàn)?\angle O = 45^\circ,$所以$\triangle OCD$是等腰直角三角形,因此$OD = CD。$
所以$OD = CD = DE = EF,$設(shè)$EF = x,$則$OE = OD + DE = x + x = 2x。$
在$Rt\triangle OFE$中,由勾股定理得$EF^2 + OE^2 = OF^2。$
因?yàn)?OF$是扇形半徑,即$OF = \sqrt{5},$所以$x^2 + (2x)^2 = (\sqrt{5})^2,$解得$x = 1$(負(fù)值舍去)。
因此$EF = OD = CD = 1,$正方形$CDEF$的面積為$1 \times 1 = 1,$$\triangle OCD$的面積為$\frac{1}{2} \times OD \times CD = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}。$
扇形$AOB$的面積為$\frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (\sqrt{5})^2 = \frac{5}{8}\pi。$
所以陰影部分的面積為扇形$AOB$的面積減去$\triangle OCD$的面積再減去正方形$CDEF$的面積,即:
$S_{\text{陰影}} = \frac{5}{8}\pi - \frac{1}{2} - 1 = \frac{5}{8}\pi - \frac{3}{2}$
答:陰影部分的面積為$\frac{5}{8}\pi - \frac{3}{2}。$
解:連接OE、AE。
∵CE⊥OA,
∴∠ECO=90°。
∵點(diǎn)C為OA的中點(diǎn),OA=2,
∴OC=$\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}\times2=1,$OE=OA=2。
∵在Rt△ECO中,OC=$\frac{1}{2}OE,$
∴∠COE=60°。
S陰影=S扇形ABO-S扇形CDO-(S扇形AOE-S△COE)。
其中:
S扇形ABO=$\frac{90\pi\times2^2}{360}=\pi;$
S扇形CDO=$\frac{90\pi\times1^2}{360}=\frac{\pi}{4};$
S扇形AOE=$\frac{60\pi\times2^2}{360}=\frac{2\pi}{3};$
S△COE=$\frac{1}{2}\times OC\times CE,$在Rt△COE中,CE=$\sqrt{OE^2 - OC^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3},$故S△COE=$\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}。$
代入可得:
S陰影=$\pi - \frac{\pi}{4} - (\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})$
=$\frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{9\pi}{12} - \frac{8\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}。$
答:陰影部分的面積為$\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}。$