解:
情況1:$\odot A$與x軸相切,與y軸相交。
點A到x軸距離$d_1=1,$半徑$r=d_1=1。$
點A到y(tǒng)軸距離$d_2=3,$$r=1<3,$此時$\odot A$與y軸無交點,不合題意。
情況2:$\odot A$與y軸相切,與x軸相交。
點A到y(tǒng)軸距離$d_2=3,$半徑$r=d_2=3。$
點A到x軸距離$d_1=1,$$r=3>1,$此時$\odot A$與x軸有兩個交點,與y軸有一個交點,共三個公共點,符合題意。
情況3:$\odot A$過原點,與兩坐標軸各交于另一點。
半徑$r=OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}。$
點A到x軸距離$d_1=1<\sqrt{10},$與x軸有兩個交點;點A到y(tǒng)軸距離$d_2=3<\sqrt{10},$與y軸有兩個交點,原點為公共點,共三個公共點,符合題意。
綜上,$\odot A$的半徑為$3$或$\sqrt{10}。$
(畫圖:在坐標系中,以點A(3,1)為圓心,分別以3和$\sqrt{10}$為半徑畫圓。)