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電子課本網(wǎng) 第48頁

第48頁

信息發(fā)布者:
4<r≤5
$r < 2.4\ cm$或$r > 4\ cm$
$r=2.4\ cm$或$3\ cm < r \leq 4\ cm$
$2.4\ cm < r \leq 3\ cm$
要確定點$P(x,0)$的取值范圍,需考慮過點$P$且與$OA$平行的直線與$\odot O$有公共點的條件。
關鍵分析:
1. 直線與圓的位置關系:過點$P$且與$OA$平行的直線與$\odot O$有公共點,意味著直線與圓相交或相切。當直線與圓相切時,圓心$O$到直線的距離等于圓的半徑$1。$
2. 平行線的性質:由于$\angle AOB = 45^\circ,$$OA$與$x$軸的夾角為$45^\circ,$因此過點$P$且與$OA$平行的直線的傾斜角也為$45^\circ$(或$135^\circ,$對應$x$軸下方的情況)。
3. 距離公式與三角函數(shù):設直線與$x$軸交于點$P(x,0),$其方程可表示為$y = x - x$(斜率為$1$)或$y = -x + x$(斜率為$-1$)。圓心$O$到直線的距離$d = \frac{|0 - 0 + x|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|x|}{\sqrt{2}}。$當直線與圓相切時,$d = 1,$即$\frac{|x|}{\sqrt{2}} = 1,$解得$|x| = \sqrt{2}。$
結論:
當直線在$x$軸上方或下方與圓相切時,$x = \sqrt{2}$或$x = -\sqrt{2}。$因此,直線與圓有公共點時,$x$的取值范圍為$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}。$
答案:$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$
解:
情況1:$\odot A$與x軸相切,與y軸相交。
點A到x軸距離$d_1=1,$半徑$r=d_1=1。$
點A到y(tǒng)軸距離$d_2=3,$$r=1<3,$此時$\odot A$與y軸無交點,不合題意。
情況2:$\odot A$與y軸相切,與x軸相交。
點A到y(tǒng)軸距離$d_2=3,$半徑$r=d_2=3。$
點A到x軸距離$d_1=1,$$r=3>1,$此時$\odot A$與x軸有兩個交點,與y軸有一個交點,共三個公共點,符合題意。
情況3:$\odot A$過原點,與兩坐標軸各交于另一點。
半徑$r=OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}。$
點A到x軸距離$d_1=1<\sqrt{10},$與x軸有兩個交點;點A到y(tǒng)軸距離$d_2=3<\sqrt{10},$與y軸有兩個交點,原點為公共點,共三個公共點,符合題意。
綜上,$\odot A$的半徑為$3$或$\sqrt{10}。$
(畫圖:在坐標系中,以點A(3,1)為圓心,分別以3和$\sqrt{10}$為半徑畫圓。)
$R\lt 3$
$R = 3$或$R = 4$
$3\lt R\lt 4$
$R = 5$
$R\gt 5$