解:連接AO并延長交BC于E,連接OC。
因?yàn)锳B=AC,OB=OC,所以直線AO垂直平分BC,即AE⊥BC,BE=EC。
設(shè)OE=x,由于⊙O的半徑為$\sqrt{5},$則OA=OB=OC=$\sqrt{5},$故AE=OA+OE=$x+\sqrt{5}。$
在Rt△OBE中,由勾股定理得:
$BE^2=OB^2-OE^2=(\sqrt{5})^2-x^2=5-x^2$
在Rt△ABE中,由勾股定理得:
$BE^2=AB^2-AE^2=4^2-(x+\sqrt{5})^2=16-(x^2+2\sqrt{5}x+5)=11-x^2-2\sqrt{5}x$
聯(lián)立兩式:$5-x^2=11-x^2-2\sqrt{5}x,$解得$x=\frac{3\sqrt{5}}{5}。$
代入$BE^2=5-x^2,$得$BE^2=5-(\frac{3\sqrt{5}}{5})^2=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5},$故$BE=\frac{4\sqrt{5}}{5}$(負(fù)值舍去),因此$BC=2BE=\frac{8\sqrt{5}}{5}。$
因?yàn)锽D是直徑,所以BD=2$\sqrt{5},$且∠BAD=∠BCD=90°。
在Rt△ABD中,$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{20-16}=2。$
在Rt△BCD中,$CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-(\frac{8\sqrt{5}}{5})^2}=\sqrt{20-\frac{64}{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}。$
四邊形ABCD的面積為$S_{\triangle BAD}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD+\frac{1}{2}BC\cdot CD$
$=\frac{1}{2}\times4\times2+\frac{1}{2}\times\frac{8\sqrt{5}}{5}\times\frac{6\sqrt{5}}{5}=4+\frac{24}{5}=\frac{44}{5}=8.8。$
答:四邊形ABCD的面積為$8.8。$