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電子課本網(wǎng) 第44頁

第44頁

信息發(fā)布者:
$2\sqrt{21}$
65°
(1)證明:因?yàn)?OC // AB,$所以$\angle OCA = \angle CAB。$
因?yàn)?OA = OC,$所以$\angle OAC = \angle OCA。$
因此$\angle OAC = \angle CAB,$即$AC$平分$\angle DAB。$
所以$\widehat{DC} = \widehat{BC},$故$DC = BC。$
(2)解:由
(1)知$DC = BC。$設(shè)$BC = x,$因?yàn)?AD:BC = 3:1,$所以$AD = 3x。$
因?yàn)?AD$是$\odot O$的直徑,所以$\angle ACD = 90^\circ。$
在$Rt\triangle ACD$中,$AC = 12,$$DC = BC = x,$$AD = 3x,$由勾股定理得:
$AD^2 = AC^2 + DC^2$
即$(3x)^2 = 12^2 + x^2,$化簡得$9x^2 = 144 + x^2,$$8x^2 = 144,$$x^2 = 18,$$x = 3\sqrt{2}$(負(fù)值舍去)。
所以$AD = 3x = 9\sqrt{2},$則$\odot O$的半徑為$\frac{1}{2}AD = \frac{9\sqrt{2}}{2}。$
解:連接AD
∵∠DOA=90°
∴AD為直徑,即點(diǎn)C在線段AD上
由圓周角定理,得:∠ODA=∠OBA=45°
∴△AOD是等腰直角三角形
在Rt△AOD中
∵D(0,2)
∴OD=2
∴OA=OD=2
即點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0)
∴AD=$\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
∵點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)
∴圓心C的坐標(biāo)為$\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(1,1)$
綜上所述,A(2,0),C(1,1)
解:連接AO并延長交BC于E,連接OC。
因?yàn)锳B=AC,OB=OC,所以直線AO垂直平分BC,即AE⊥BC,BE=EC。
設(shè)OE=x,由于⊙O的半徑為$\sqrt{5},$則OA=OB=OC=$\sqrt{5},$故AE=OA+OE=$x+\sqrt{5}。$
在Rt△OBE中,由勾股定理得:
$BE^2=OB^2-OE^2=(\sqrt{5})^2-x^2=5-x^2$
在Rt△ABE中,由勾股定理得:
$BE^2=AB^2-AE^2=4^2-(x+\sqrt{5})^2=16-(x^2+2\sqrt{5}x+5)=11-x^2-2\sqrt{5}x$
聯(lián)立兩式:$5-x^2=11-x^2-2\sqrt{5}x,$解得$x=\frac{3\sqrt{5}}{5}。$
代入$BE^2=5-x^2,$得$BE^2=5-(\frac{3\sqrt{5}}{5})^2=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5},$故$BE=\frac{4\sqrt{5}}{5}$(負(fù)值舍去),因此$BC=2BE=\frac{8\sqrt{5}}{5}。$
因?yàn)锽D是直徑,所以BD=2$\sqrt{5},$且∠BAD=∠BCD=90°。
在Rt△ABD中,$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{20-16}=2。$
在Rt△BCD中,$CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-(\frac{8\sqrt{5}}{5})^2}=\sqrt{20-\frac{64}{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}。$
四邊形ABCD的面積為$S_{\triangle BAD}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD+\frac{1}{2}BC\cdot CD$
$=\frac{1}{2}\times4\times2+\frac{1}{2}\times\frac{8\sqrt{5}}{5}\times\frac{6\sqrt{5}}{5}=4+\frac{24}{5}=\frac{44}{5}=8.8。$
答:四邊形ABCD的面積為$8.8。$
解:連接$BD。$
因?yàn)?AB$是$\odot O$的直徑,所以$\angle ADB = \angle ACB = 90^\circ。$
在$Rt\triangle ACB$中,根據(jù)勾股定理:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\ \text{cm}$
因?yàn)?CD$平分$\angle ACB,$所以$\angle 1 = \angle 2,$則$\widehat{AD} = \widehat{BD},$故$AD = BD。$
在$Rt\triangle ABD$中,$AD^2 + BD^2 = AB^2,$又因?yàn)?AD = BD,$所以:
$2AD^2 = AB^2$
$AD = \frac{\sqrt{2}}{2}AB = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 20 = 10\sqrt{2}\ \text{cm}$
因此,$AD$的長為$10\sqrt{2}\ \text{cm}。$