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第33頁

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55°
10
C
解：因?yàn)?AB = AC，$$OA，$$OB，$$OC$均為$\odot O$的半徑，所以$OA = OA，$$OB = OC。$
在$\triangle OAB$和$\triangle OAC$中，
$\begin{cases}OA = OA \\OB = OC \\AB = AC\end{cases}$
所以$\triangle OAB \cong \triangle OAC(\text{SSS})，$因此$\angle AOB = \angle AOC。$
因?yàn)?\angle AOB + \angle AOC + \angle BOC = 360^\circ，$且$\angle BOC = 110^\circ，$所以$\angle AOB + \angle AOC = 360^\circ - 110^\circ = 250^\circ，$故$\angle AOB = \frac{1}{2} \times 250^\circ = 125^\circ。$
又因?yàn)?OB = OA，$所以$\triangle OAB$為等腰三角形，$\angle BAO = \angle ABO。$
由于$\angle BAO + \angle ABO + \angle AOB = 180^\circ，$所以$\angle BAO = \frac{1}{2}(180^\circ - 125^\circ) = 27.5^\circ。$
綜上，$\angle BAO$的度數(shù)為$27.5^\circ。$
能畫出符合結(jié)論①②④的已知圖形，具體如下：
結(jié)論①：當(dāng)A、B兩點(diǎn)在同一條直徑上時，過點(diǎn)A或點(diǎn)B的直徑最多能畫1條。因?yàn)榇藭r過A和B的直徑是同一條，所以只有1條。
結(jié)論②：當(dāng)A、B兩點(diǎn)不在同一條直徑上，且都不與圓心重合時，過點(diǎn)A或點(diǎn)B的直徑最多能畫2條。過A點(diǎn)可畫1條直徑，過B點(diǎn)可畫另1條直徑，共2條。
結(jié)論④：當(dāng)A、B兩個點(diǎn)中只要有一個點(diǎn)與圓心重合時，過點(diǎn)A或點(diǎn)B的直徑最多能畫無數(shù)條。因?yàn)檫^圓心的直徑有無數(shù)條。
解：連接OB，對圖形中的角進(jìn)行標(biāo)注。
因?yàn)锳B=OE，OE=OB，所以AB=OB，因此∠1=∠A。
因?yàn)镺B=OE，所以∠E=∠2=∠1+∠A=2∠A。
所以∠EOD=∠E+∠A=3∠A。
因?yàn)椤螮OD=78°，所以∠A=26°。
所以∠E=2∠A=26°×2=52°。
答：∠E的度數(shù)為52°。
證明：過$O$作$OE \perp AB$于$E，$則$AE = BE。$
因?yàn)?C$、$D$是$\odot O$的弦$AB$上的三等分點(diǎn)，所以$AC = CD = DB。$
所以$AE - AC = BE - DB，$即$CE = DE。$
因?yàn)?OE \perp CD，$所以$OC = OD$（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等），即$\triangle OCD$是等腰三角形。
所以$\angle OCD = \angle ODC，$因此$\angle ACM = \angle BDN$（等角的補(bǔ)角相等）。
因?yàn)?M$、$N$分別是$OC$、$OD$的中點(diǎn)，所以$CM = \frac{1}{2}OC，$$DN = \frac{1}{2}OD，$故$CM = DN。$
在$\triangle ACM$和$\triangle BDN$中，
$\begin{cases} AC = BD \\ \angle ACM = \angle BDN \\ CM = DN \end{cases}$
所以$\triangle ACM \cong \triangle BDN$（SAS）。
因此$AM = BN。$
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