解：設(shè)點(diǎn)D出發(fā)$ t $秒時(shí)，四邊形DFCE的面積為$ 20 \, \text{cm}^2 。$
由題意得：$ AD = 2t \, \text{cm} ，$$ DB = (12 - 2t) \, \text{cm} 。$
∵$ \angle B = 90^\circ ，$$ AB = BC = 12 \, \text{cm} ，$
∴$ \triangle ABC $是等腰直角三角形，$ \angle A = \angle C = 45^\circ 。$
∵$ DE // BC ，$$ DF // AC ，$
∴$ \triangle ADE $是等腰直角三角形，四邊形DFCE是平行四邊形，$ \triangle DBF $是等腰直角三角形。
∴$ DE = AD = 2t \, \text{cm} ，$$ BF = DB = (12 - 2t) \, \text{cm} 。$
∴$ FC = BC - BF = 12 - (12 - 2t) = 2t \, \text{cm} 。$
∵DB是平行四邊形DFCE的高，
∴$ S_{\text{四邊形}DFCE} = FC \cdot DB = 2t(12 - 2t) 。$
依題意得：$ 2t(12 - 2t) = 20 ，$
整理得：$ t^2 - 6t + 5 = 0 ，$
解得：$ t_1 = 1 ，$$ t_2 = 5 。$
∵當(dāng)$ t = 1 $時(shí)，$ DB = 12 - 2 \times 1 = 10 ＞ 0 ；$當(dāng)$ t = 5 $時(shí)，$ DB = 12 - 2 \times 5 = 2 ＞ 0 ，$均符合題意。
答：點(diǎn)D出發(fā)1秒或5秒時(shí)，四邊形DFCE的面積為$ 20 \, \text{cm}^2 。$
