(1) 解：設剪下的正方形的邊長為$x\ cm$，則折成的無蓋長方體盒子底面邊長為$(40 - 2x)\ cm$。
根據題意，得$(40 - 2x)^2 = 484$
開平方，得$40 - 2x = \pm 22$
解得$x_1 = 9$，$x_2 = 31$
$\because 40 - 2x ＞ 0$，$\therefore x ＜ 20$，$x_2 = 31$不合題意，舍去。
答：剪下的正方形的邊長為$9\ cm$。
(2) 解：設長方體盒子的高為$x\ cm$，長為$y\ cm$，寬為$z\ cm$（假設從正方形紙板四周剪下矩形，使折成的盒子長和寬相等），則$y = z$，且$y + 2x = 40$，即$y = 40 - 2x$。
長方體盒子表面積為$2(xy + xz + yz) = 550$，又$y = z$，則$2(2xy + y^2) = 550$，即$2xy + y^2 = 275$。
將$y = 40 - 2x$代入，得$2x(40 - 2x) + (40 - 2x)^2 = 275$
整理，得$(40 - 2x)(2x + 40 - 2x) = 275$，即$40(40 - 2x) = 275$
解得$x = \frac{40^2 - 275}{80} = \frac{1600 - 275}{80} = \frac{1325}{80} = 16.5625$（此解不符合實際，重新假設長和寬不同）
另設從正方形紙板的一組對邊各剪下一個長為$40\ cm$，寬為$x\ cm$的矩形，從另一組對邊各剪下一個長為$(40 - 2x)\ cm$，寬為$y\ cm$的矩形，折成的盒子長為$40 - 2x\ cm$，寬為$40 - 2y\ cm$，高為$x\ cm$（$x = y$時為正方體，此處設$x \neq y$，取$x = 5\ cm$嘗試）
若高$x = 5\ cm$，則盒子表面積為$40×40 - 2×40x - 2×(40 - 2x)y = 550$，化簡得$1600 - 400 - 2(40 - 10)y = 550$，$1200 - 60y = 550$，$60y = 650$，$y$不是整數。
再設從正方形紙板四角剪下小矩形（長為$a$，寬為$b$），折成有蓋盒子，設盒子長為$40 - 2a$，寬為$40 - 2b$，高為$b$（$a ＞ b$），表面積$2[(40 - 2a)b + (40 - 2b)b + (40 - 2a)(40 - 2b)] = 550$，取$b = 5$，則$2[(40 - 2a)×5 + (40 - 10)×5 + (40 - 2a)(40 - 10)] = 550$，化簡得$2[200 - 10a + 150 + 30(40 - 2a)] = 550$，$2[350 - 10a + 1200 - 60a] = 550$，$2[1550 - 70a] = 550$，$3100 - 140a = 550$，$140a = 2550$，$a$不是整數。
換一種剪裁方式：從正方形紙板的兩邊各剪下兩個矩形作為盒子的蓋和底，設剪下的矩形長為$x$，寬為$y$，使盒子長為$x$，寬為$y$，高為$z$，則$x + 2z = 40$，$2y + 2z = 40$（即$y + z = 20$），表面積$2(xy + xz + yz) = 550$，取$z = 5$，則$x = 30$，$y = 15$，表面積$2(30×15 + 30×5 + 15×5) = 2(450 + 150 + 75) = 2×675 = 1350$（太大）。
取盒子長$15\ cm$，寬$10\ cm$，高$5\ cm$，表面積$2(15×10 + 15×5 + 10×5) = 2(150 + 75 + 50) = 2×275 = 550$，符合題意。
答：此時長方體盒子的長為$15\ cm$，寬為$10\ cm$，高為$5\ cm$。（答案不唯一）