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A

D

B

C

80

$\frac{8}{9}π$

180

$2+\sqrt{3}$

【答案】：
A

【解析】：
解：連接 $OA$。
因為 $CD$ 是直徑，$CD=10\ cm$，所以 $OC=OA=\frac{10}{2}=5\ cm$。
因為 $OM:OC=3:5$，所以 $OM=\frac{3}{5}OC=\frac{3}{5}×5=3\ cm$。
因為 $AB\perp CD$，所以 $\triangle OMA$ 是直角三角形。
由勾股定理得：$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ cm$。
因為 $AB\perp CD$，所以 $AB=2AM=2×4=8\ cm$。
答案：A

【答案】：
D

【解析】：

∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD=∠A+∠C，
∵∠A=40°，∠APD=75°，
∴∠C=∠APD - ∠A=75° - 40°=35°，
∵∠B與∠C所對的弧都是$\overset{\frown}{AD}$，
∴∠B=∠C=35°。
D

【答案】：
B

【解析】：
連接OD。
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD=120°，
∴∠BAD=180°-∠BCD=60°。
∵OA=OD，
∴△OAD是等腰三角形，∠OAD=∠ODA=60°。
∵PD是⊙O的切線，
∴OD⊥PD，∠ODP=90°。
∴∠ADP=∠ODP-∠ODA=90°-60°=30°。
B

【答案】：
C

【解析】：
設(shè)圓的半徑為$R = 1$。
正三角形內(nèi)切圓半徑$r_1$：$r_1 = R\cos60^\circ = 1×\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
正方形內(nèi)切圓半徑$r_2$：$r_2 = R\cos45^\circ = 1×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
正六邊形內(nèi)切圓半徑$r_3$：$r_3 = R\cos30^\circ = 1×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
因為$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$，所以該三角形是直角三角形。
C

【答案】：
80

【解析】：
因為整個圓的圓心角是$360^{\circ}$，弦把圓分成$2:7$兩部分，所以這條弦所對的圓心角占整個圓心角的比例為$\frac{2}{2 + 7}$。則圓心角的度數(shù)為$360^{\circ} × \frac{2}{9} = 80^{\circ}$。
$80$

【答案】：
$\frac{8}{9}π$

【解析】：
設(shè)扇形的弧長為$l$，半徑為$r$，面積為$S$。
已知$S = \frac{4}{3}\pi$，$r = 3$，扇形面積公式為$S=\frac{1}{2}lr$。
則$\frac{1}{2} × l × 3=\frac{4}{3}\pi$，
$\frac{3}{2}l=\frac{4}{3}\pi$，
$l=\frac{4}{3}\pi × \frac{2}{3}=\frac{8}{9}\pi$。
$\frac{8}{9}\pi$

【答案】：
180

【解析】：
設(shè)圓錐底面半徑為$r$，母線長為$l$，側(cè)面展開圖的扇形圓心角為$n^{\circ}$。
底面積$S_{底}=\pi r^{2}$，側(cè)面積$S_{側(cè)}=\pi rl$。
由題意$S_{側(cè)}=2S_{底}$，即$\pi rl = 2\pi r^{2}$，得$l = 2r$。
圓錐側(cè)面展開圖扇形弧長等于底面周長，即$\frac{n\pi l}{180}=2\pi r$。
將$l = 2r$代入，$\frac{n\pi \cdot 2r}{180}=2\pi r$，解得$n = 180$。
180

【答案】：
$2+\sqrt{3}$

【解析】：
設(shè)$AE=x$，內(nèi)切圓半徑$r=1$，切點$D$在$BC$上，$E$在$AB$上，$F$在$AC$上（補充切點$F$）。
則$AF=AE=x$，$CD=CF=r=1$，設(shè)$BD=BE=y$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$O$為內(nèi)心，$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB=45^\circ$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC=105^\circ$，故$\angle OBC=180^\circ-105^\circ-45^\circ=30^\circ$，則$\angle ABC=2\angle OBC=60^\circ$，$\angle BAC=30^\circ$。
$BC=CD+BD=1+y$，$AC=AF+CF=x+1$，$AB=AE+BE=x+y$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\tan\angle ABC=\tan60^\circ=\frac{AC}{BC}=\frac{x+1}{1+y}=\sqrt{3}$，即$x+1=\sqrt{3}(1+y)$ ①。
$\sin\angle BAC=\sin30^\circ=\frac{BC}{AB}=\frac{1+y}{x+y}=\frac{1}{2}$，即$x+y=2(1+y)$，化簡得$x=2+y$ ②。
將②代入①：$2+y+1=\sqrt{3}(1+y)\Rightarrow y=\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}$。
則$x=2+y=2+\sqrt{3}$。
$2+\sqrt{3}$

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