解：圓錐的母線長：
$\sqrt{20^2 + (40\sqrt{2})^2} = 60\ \text{cm}$
設(shè)這個圓錐展開后的圓心角為$n^\circ，$則
$\frac{n\pi \times 60}{180} = 2\pi \times 20$
解得，$n = 120$
方案一：
將扇形的對稱軸與矩形的一邊平行放置，扇形的兩個半徑端點分別在矩形的一組對邊上。
已知$OM = ON = 60\ \text{cm}，$$\angle MON = 120^\circ。$
過點$O$作$OB \perp MN$于點$B，$則$\angle MOB = 60^\circ。$
在$\text{Rt}\triangle OBM$中，$BM = OM \cdot \sin 60^\circ = 60 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}\ \text{cm}，$所以$MN = 2BM = 60\sqrt{3}\ \text{cm}。$
矩形的長為$60\sqrt{3}\ \text{cm}，$寬為母線長$60\ \text{cm}，$面積為：
$60 \times 60\sqrt{3} = 3600\sqrt{3}\ \text{cm}^2$
方案二：
將扇形的一條半徑與矩形的一邊重合，扇形的弧的一個端點在矩形的對邊上。
已知$OM = 60\ \text{cm}，$$\angle MON = 120^\circ，$矩形的寬為母線長$60\ \text{cm}。$
過點$N$作$NG \perp OM$交$OM$的延長線于點$G，$則$\angle NOG = 60^\circ。$
$OG = OM + MG = 60 + 60 \times \cos 60^\circ = 60 + 30 = 90\ \text{cm}，$即矩形的長為$90\ \text{cm}。$
面積為：
$90 \times 60 = 5400\ \text{cm}^2$
比較兩種方案的面積：$5400 ＜ 3600\sqrt{3}$（因為$\sqrt{3} \approx 1.732，$$3600\sqrt{3} \approx 6235.2$），所以方案二用料最少。此時所需矩形鐵皮的長為$90\ \text{cm}，$寬為$60\ \text{cm}。$
