【答案】：
?解：$(1)$設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為n°?
?依題意得，$\frac{n\pi ×40}{180}=2\pi ×10?$
?解得$，n=90?$
?∴圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為90°，?
?側(cè)面積$=\pi ×10×40=400\pi (\,\,cm^2)?$
$?\left( 2 \right) $如圖所示$，?$
?由圓錐的側(cè)面展開圖可見，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程為線段AB的長(zhǎng)度.?
?在Rt△ABS中，∵$AS=A'S=40\,\,cm，$B為A'S的中點(diǎn)?
?∴$BS=\frac{1}{2}A'S=20\,\,cm?$
?∴$AB=\sqrt{40^2+20^2}=20\sqrt{5}\,\,cm?$
?∴它所走的最短路程為$20\sqrt{5}\,\,cm.?$
【解析】：
(1)圓錐底面周長(zhǎng)為$2\pi r = 2\pi×10 = 20\pi\ cm$，側(cè)面展開圖扇形弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)，設(shè)圓心角為$n^\circ$，由$\frac{n\pi×40}{180}=20\pi$，解得$n = 90$，側(cè)面積為$\frac{1}{2}×20\pi×40 = 400\pi\ cm^2$。
(2)將圓錐側(cè)面展開，扇形圓心角$90^\circ$，母線$SA = 40\ cm$，$B$為$SA$中點(diǎn)，所以$SB = 20\ cm$，展開后$A$點(diǎn)對(duì)應(yīng)扇形弧的一個(gè)端點(diǎn)，$\angle ASA' = 90^\circ$（$A'$為展開后$A$的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則最短路程為$AB$，在$Rt\triangle ASB$中，$AB=\sqrt{SA^2 + SB^2}=\sqrt{40^2 + 20^2}=\sqrt{1600 + 400}=\sqrt{2000}=20\sqrt{5}\ cm$。
