解：連接 $ BP ，$$ CP ，$
因為分別以點 $ B $、$ C $ 為圓心，正方形邊長為半徑畫圓，正方形邊長為 2，
所以 $ BP = CP = BC = 2 ，$則 $ \triangle BCP $ 是等邊三角形，
因此 $ \angle BPC = 60^\circ 。$
由于四邊形 $ ABCD $ 是正方形，$ \angle ABC = 90^\circ ，$
所以 $ \angle ABP = \angle ABC - \angle PBC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ 。$
陰影部分面積由兩個對稱的部分組成，每部分面積為扇形 $ ABP $ 的面積減去（扇形 $ BCP $ 的面積減去 $ \triangle BCP $ 的面積），
即 $ S_{\text{陰影}} = 2 \times [S_{\text{扇形}ABP} - (S_{\text{扇形}BCP} - S_{\triangle BCP})] 。$
計算各部分面積：
扇形 $ ABP $ 的面積：$ \frac{30^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 2^2 = \frac{1}{12} \times \pi \times 4 = \frac{1}{3}\pi ；$
扇形 $ BCP $ 的面積：$ \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 2^2 = \frac{1}{6} \times \pi \times 4 = \frac{2}{3}\pi ；$
$ \triangle BCP $ 的面積：$ \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3} = \sqrt{3} $（等邊三角形面積公式：$ \frac{\sqrt{3}}{4} \times 邊長^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3} $）。
代入陰影面積公式：
$ S_{\text{陰影}} = 2 \times \left[ \frac{1}{3}\pi - \left( \frac{2}{3}\pi - \sqrt{3} \right) \right] = 2 \times \left( \frac{1}{3}\pi - \frac{2}{3}\pi + \sqrt{3} \right) = 2 \times \left( -\frac{1}{3}\pi + \sqrt{3} \right) = 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}\pi 。$
答：圖中陰影部分的面積為 $ 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}\pi 。$
