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 （1）證明：因?yàn)槲暹呅?ABCDE$是正五邊形，所以$AB = BC，$$\angle ABM=\angle BCN。$在$\triangle ABM$和$\triangle BCN$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = BC\\\angle ABM=\angle BCN\\BM = CN\end{array}\right.，$所以$\triangle ABM\cong\triangle BCN(SAS)。$

 （2）解：因?yàn)?\triangle ABM\cong\triangle BCN，$所以$\angle MBP=\angle BAP。$因?yàn)?\angle MBP+\angle BMP+\angle BPM = 180^{\circ}，$$\angle BAP+\angle BMA+\angle MBA=180^{\circ}，$且$\angle BMP=\angle BMA，$所以$\angle BPM=\angle MBA。$又因?yàn)?\angle APN=\angle BPM，$所以$\angle APN=\angle MBA。$正五邊形的內(nèi)角和為$(5 - 2)\times180^{\circ}=540^{\circ}，$每個(gè)內(nèi)角為$540^{\circ}\div5 = 108^{\circ}，$即$\angle MBA = 108^{\circ}，$所以$\angle APN=108^{\circ}。$

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9πcm2

$12\sqrt{3}cm2$

【答案】：
?證明：(1)因?yàn)槲暹呅蜛BCDE是正五邊形，?
?所以AB=BC，$\angle ABM= \angle BCN.?$
?因?yàn)樵?\triangle ABM$與$\triangle BCN$中，?
?AB=BC，$\angle ABM=\angle \mathit{B}\mathit{C}\mathit{N}，$$BM=\mathit{C}\mathit{N}，$?
?所以$\triangle ABM≌\triangle BCN.?$
?(2)因?yàn)?\triangle ABM≌\triangle BCN，$?
?所以$\angle MBP= \angle BAP.?$
?因?yàn)?\angle MBP+ \angle BMP+ \angle BPM= \angle BAP+ \angle BMA+ \angle MBA=180^{ \circ }，$?
?所以$\angle BPM= \angle MBA，$?
?所以$\angle APN= \angle MBA，$?
?所以$\angle MBA=\angle APN=\dfrac{(5-2)× 180}{5}={108}^{\circ }.?$

【解析】：
（1）證明：因?yàn)锳BCDE是正五邊形，所以AB=BC，∠ABM=∠BCN。又因?yàn)锽M=CN，所以△ABM≌△BCN（SAS）。
（2）由（1）知△ABM≌△BCN，所以∠BAM=∠CBN。因?yàn)椤螦PN=∠BAM+∠ABN，所以∠APN=∠CBN+∠ABN=∠ABC。正五邊形內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°，每個(gè)內(nèi)角∠ABC=540°÷5=108°，故∠APN=108°。

【答案】：
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【解析】：
設(shè)正八邊形邊長為$a$，將正八邊形補(bǔ)成一個(gè)正方形，四個(gè)角為等腰直角三角形，直角邊長為$\frac{a}{\sqrt{2}}$。
正方形邊長為$a + 2×\frac{a}{\sqrt{2}} = a(1+\sqrt{2})$，面積為$a^2(1+\sqrt{2})^2 = a^2(3 + 2\sqrt{2})$。
四個(gè)等腰直角三角形面積和為$4×\frac{1}{2}×(\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = a^2$，正八邊形面積為$a^2(3 + 2\sqrt{2}) - a^2 = a^2(2 + 2\sqrt{2})$。
四邊形$BCFG$為矩形，長為$a(1+\sqrt{2})$，寬為$a$，面積$a^2(1+\sqrt{2}) = 20$。
正八邊形面積為$2× a^2(1+\sqrt{2}) = 40$。
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