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第66頁

信息發(fā)布者：
∠DMF的大小確定，連接OD，OF，如圖所示。
∵⊙O分別切△ABC的邊AB、BC、CA于點D、E、F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，
∴∠ODA=∠OFA=90°。
∵∠B=70°，∠C=60°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-60°=50°。
在四邊形ADOF中，∠DOF=360°-∠ODA-∠OFA-∠A=360°-90°-90°-50°=130°。
∵∠DMF是$\overset{\frown}{DF}$所對的圓周角，∠DOF是$\overset{\frown}{DF}$所對的圓心角，
∴∠DMF=$\frac{1}{2}$∠DOF=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
故∠DMF的度數(shù)為65°。
證明：
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓
∴O是△ABC角平分線的交點
∴∠ABO=∠CBO，∠BAO=∠CAO
∵∠BAO=∠CAO
∴弧AD=弧CD（在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等）
∴AD=CD（在同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等）
∵CD所對的圓周角是∠CAD和∠CBD
∴∠CAD=∠CBD（同弧所對的圓周角相等）
又
∵∠ABO=∠CBO
∴∠CAD=∠ABO
∵∠OAD=∠CAO+∠CAD，∠AOD=∠BAO+∠ABO（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）
且∠BAO=∠CAO，∠CAD=∠ABO
∴∠OAD=∠AOD
∴AD=OD（等角對等邊）
綜上，AD=CD=OD
A
B
【答案】：
?解：∠DMF的大小確定，連接OD，OF，如圖所示
∵ AB，BC，CA為⊙O的切線
∴ OD⊥AB，OF⊥AC∴ ∠ODA=∠OFA=90°
∵ ∠B=70°，∠C=60°
∴ ∠A=180°-70°-60°=50°
∴ ∠DOF=360°-90°-90°-50°=130°
∴$ ∠DMF=\frac 12 ∠DOF=65°$


【解析】：
連接OD，OF。
在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-60°=50°。
∵⊙O分別切AB、AC于點D、F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，
∴∠ODA=∠OFA=90°。
在四邊形ADOF中，∠DOF=360°-∠ODA-∠OFA-∠A=360°-90°-90°-50°=130°。
∵M(jìn)是$\overset{\frown}{DEF}$上的動點（與點D、F不重合），
∴∠DMF=$\frac{1}{2}$∠DOF=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
∠DMF的大小確定，為65°。
【答案】：
A

【解析】：
在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，由勾股定理得BC=√(AB2-AC2)=√(102-62)=8。
D是BC中點，CD=BC/2=4，AD=√(AC2+CD2)=√(62+42)=2√13。
設(shè)⊙O半徑為r，圓心O到AB、BC距離均為r。過O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，則OE=OF=r，四邊形OEBF為矩形，OF=BE=r，AE=AB-BE=10-r。
sin∠BAD=OE/AO=r/AO，cos∠BAD=AE/AO=(10-r)/AO。
在Rt△ACD中，sin∠CAD=CD/AD=4/(2√13)=2√13/13，cos∠CAD=AC/AD=6/(2√13)=3√13/13。
∠BAD=∠BAC-∠CAD，sin∠BAD=sin(∠BAC-∠CAD)=sin∠BACcos∠CAD - cos∠BACsin∠CAD。
sin∠BAC=BC/AB=8/10=4/5，cos∠BAC=AC/AB=6/10=3/5，
sin∠BAD=4/5×3√13/13 - 3/5×2√13/13=12√13/65 - 6√13/65=6√13/65，
即r/AO=6√13/65，AO=65r/(6√13)=5√13r/6。
cos∠BAD=cos(∠BAC-∠CAD)=cos∠BACcos∠CAD + sin∠BACsin∠CAD=3/5×3√13/13 + 4/5×2√13/13=9√13/65 + 8√13/65=17√13/65，
即(10-r)/AO=17√13/65，將AO=5√13r/6代入得(10-r)/(5√13r/6)=17√13/65，
(6(10-r))/(5√13r)=17√13/65，6(10-r)×65=17√13×5√13r，390(10-r)=1105r，3900 - 390r=1105r，1495r=3900，r=12/7。
答案：$\frac{12}{7}$
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