1. （1）
連接$CP$，$CQ$：
因為$PQ$是$\odot C$的切線，所以$CQ\perp PQ$，在$Rt\triangle CPQ$中，根據(jù)勾股定理$PQ = \sqrt{CP^{2}-CQ^{2}}$。
已知$CQ = 2$（半徑），所以$PQ=\sqrt{CP^{2}-4}$。
當(dāng)$CP\perp AB$時，$CP$的值最小。
因為$\triangle ABC$是等邊三角形，邊長$AB = 4$，根據(jù)等邊三角形三線合一性質(zhì)，$CP\perp AB$時，$AP = BP=\frac{1}{2}AB = 2$。
再根據(jù)勾股定理$CP=\sqrt{AC^{2}-AP^{2}}$，$AC = 4$，$AP = 2$，則$CP=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{16 - 4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
把$CP = 2\sqrt{3}$代入$PQ=\sqrt{CP^{2}-4}$，得$PQ=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-4}=\sqrt{12 - 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
2. （2）
因為$AB = 5$，$AC = 4$，$BC = 3$，滿足$BC^{2}+AC^{2}=3^{2}+4^{2}=25=AB^{2}$，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
設(shè)切點為$D$，連接$CD$，設(shè)圓的半徑為$r$。
根據(jù)三角形面積公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}(AC + BC+AB)\cdot r$（利用三角形面積的兩種表示方法，一種是$\frac{1}{2}AC\cdot BC$，另一種是$\frac{1}{2}(AC + BC + AB)\cdot r$，這里$r$是內(nèi)切圓半徑的推廣形式），$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×3×4 = 6$，$\frac{1}{2}(3 + 4+5)\cdot r=6$，解得$r = 1$。
因為$\angle ACB = 90^{\circ}$，$EF$是圓的直徑（$\angle ACB = 90^{\circ}$，$EF$所對圓周角為$90^{\circ}$，所以$EF$是直徑）。
當(dāng)$CD$為圓的直徑時$EF$最小，根據(jù)三角形面積$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot BC$，則$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}$。
把$AC = 4$，$BC = 3$，$AB = 5$代入得$CD=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，即$EF$的最小值為$\frac{12}{5}$。
故答案為：（1）$2\sqrt{2}$；（2）$\frac{12}{5}$。
