1. （1）
首先求$A$、$B$兩點(diǎn)坐標(biāo)：
對(duì)于一次函數(shù)$y = \frac{3}{4}x + 3$，當(dāng)$x = 0$時(shí)，$y=3$，所以$B(0,3)$；當(dāng)$y = 0$時(shí)，$0=\frac{3}{4}x + 3$，解得$x=-4$，所以$A(-4,0)$。
根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，可得$\vert AB\vert=\sqrt{(-4 - 0)^2+(0 - 3)^2}=\sqrt{16 + 9}=5$。
然后求$O$到$AB$的距離$h$：
根據(jù)三角形面積公式$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\vert OA\vert×\vert OB\vert=\frac{1}{2}\vert AB\vert× h$，已知$\vert OA\vert = 4$，$\vert OB\vert = 3$，$\vert AB\vert = 5$，則$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× h$，解得$h=\frac{12}{5}$。
最后求$\triangle ABP$面積的最大值：
因?yàn)?P$是$\odot O$上的動(dòng)點(diǎn)，$\odot O$半徑$r = 2$，$P$到$AB$的最大距離$H=h + r$（當(dāng)$OP\perp AB$時(shí)）。
$H=\frac{12}{5}+2=\frac{12 + 10}{5}=\frac{22}{5}$。
根據(jù)三角形面積公式$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}\vert AB\vert× H$，把$\vert AB\vert = 5$，$H=\frac{22}{5}$代入，得$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}×5×\frac{22}{5}=11$。
2. （2）
連接$AM$：
因?yàn)辄c(diǎn)$B$關(guān)于直線$AP$的對(duì)稱點(diǎn)是$M$，所以$AM = AB = 3$。
所以點(diǎn)$M$在以$A$為圓心，$AB$長(zhǎng)為半徑的圓上。
然后求$MC$的最小值：
根據(jù)三角形三邊關(guān)系$\vert MC\vert\geqslant\vert AC\vert-\vert AM\vert$。
在矩形$ABCD$中，$AB = 3$，$BC = 4$，根據(jù)勾股定理$\vert AC\vert=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，$AM = AB = 3$。
所以$MC$的最小值為$\vert AC\vert-\vert AM\vert=5 - 3=2$。
故答案為：（1）$11$；（2）$2$。
