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D

C

-5

$2-\sqrt{3}$

1

-1

2019

 解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，$x_1 + x_2 = 4，$$x_1x_2 = 2。$

 $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{4}{2} = 2$

 解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，$x_1 + x_2 = 4，$$x_1x_2 = 2。$

 $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2\times2 = 16 - 4 = 12$

 解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，$x_1 + x_2 = 4，$$x_1x_2 = 2。$

 $(x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 = 2 - 2\times4 + 4 = 2 - 8 + 4 = -2$

 解：對于一元二次方程$x^2 - 4x + k - 3 = 0，$根據(jù)韋達(dá)定理可知，兩根之和$x_1 + x_2 = 4，$兩根之積$x_1x_2 = k - 3。$

 已知$x_1 = 3x_2，$聯(lián)立方程組$\begin{cases}x_1 + x_2 = 4 \\ x_1 = 3x_2\end{cases}，$將$x_1 = 3x_2$代入$x_1 + x_2 = 4，$可得$3x_2 + x_2 = 4，$即$4x_2 = 4，$解得$x_2 = 1。$

 則$x_1 = 3x_2 = 3×1 = 3。$

 又因?yàn)?x_1x_2 = k - 3，$所以$3×1 = k - 3，$解得$k = 6。$

 綜上，方程的根為$x_1 = 3，$$x_2 = 1，$$k$的值為$6。$

【答案】：
D.

【解析】：
設(shè)方程的另一個(gè)根為$x_1$。
對于一元二次方程$x^2 + 5x - m = 0$，根據(jù)韋達(dá)定理，兩根之和為$-\frac{5}{1} = -5$。
已知一個(gè)根是$-6$，則$-6 + x_1 = -5$，解得$x_1 = 1$。
D.

【答案】：
C

【解析】：
已知方程兩根為$2$和$-3$，則兩根之和為$2 + (-3)=-1$，兩根之積為$2×(-3)=-6$。
一元二次方程可表示為$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2}=0$，代入得$x^{2}-(-1)x + (-6)=0$，即$x^{2}+x - 6=0$。
C.

【答案】：
C

【解析】：

∵方程$x^{2}+mx+n=0$的一個(gè)根為0，
∴將$x=0$代入方程得：$0^{2}+m×0+n=0$，即$n=0$。
設(shè)方程的另一個(gè)根為$x_{1}(x_{1}\neq0)$，
由韋達(dá)定理得：$0+x_{1}=-m$，$0× x_{1}=n$。
∵$x_{1}\neq0$，
∴$-m\neq0$，即$m\neq0$。
綜上，$m\neq0$，$n=0$。
C.

【答案】：
-5

【解析】：
對于一元二次方程$x^{2}-3x - 2=0$，其中$a = 1$，$b=-3$，$c=-2$。
由韋達(dá)定理可得：$x_{1}+x_{2}=-\frac{a}=3$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=-2$。
則$x_{1}x_{2}-x_{1}-x_{2}=x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})=-2 - 3=-5$。
$-5$

【答案】：
$2-\sqrt{3}$
1

【解析】：
設(shè)方程的另一個(gè)根為$x_1$。
對于一元二次方程$x^2 - 4x + k = 0$，根據(jù)韋達(dá)定理，兩根之和為$4$，即$x + x_1 = 4$。
已知$x = 2 + \sqrt{3}$，則$x_1 = 4 - (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3}$。
兩根之積為$k$，即$k = x \cdot x_1 = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$。
$2 - \sqrt{3}$，$1$

【答案】：
-1

【解析】：
設(shè)方程的兩根為$x_1$，$x_2$。
由韋達(dá)定理得：$x_1x_2 = k^2$。
因?yàn)閮筛榈箶?shù)，所以$x_1x_2 = 1$，即$k^2 = 1$，解得$k = 1$或$k = -1$。
當(dāng)$k = 1$時(shí)，方程為$x^2 + (1 - 2)x + 1^2 = x^2 - x + 1 = 0$，判別式$\Delta = (-1)^2 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3 ＜ 0$，方程無實(shí)根，舍去。
當(dāng)$k = -1$時(shí)，方程為$x^2 + (-1 - 2)x + (-1)^2 = x^2 - 3x + 1 = 0$，判別式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，方程有兩個(gè)實(shí)根。
綜上，$k = -1$。
$-1$

【答案】：
2019

【解析】：
因?yàn)?a$是方程$x^{2}+x - 2020 = 0$的根，所以$a^{2}+a - 2020 = 0$，即$a^{2}+a = 2020$。
又因?yàn)?a$、$b$是方程$x^{2}+x - 2020 = 0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)韋達(dá)定理，$a + b=-\frac{1}{1}=-1$。
則$a^{2}+2a + b=(a^{2}+a)+(a + b)=2020+(-1)=2019$。
2019

【答案】：
解：$x_1+x_2=4，$$x_1x_2=k-3$
由$\begin{cases}{ x_1+x_2=4 }\\{ x_1=3x_2 }\end{cases}$
解得$x_1=3，$$x_2=1$
∴k-3=3×1，得k=6

【解析】：
解：由韋達(dá)定理得，$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=k-3$。
因?yàn)?x_{1}=3x_{2}$，所以$3x_{2}+x_{2}=4$，解得$x_{2}=1$，則$x_{1}=3×1=3$。
$x_{1}x_{2}=3×1=3=k-3$，解得$k=6$。
方程的根為$x_{1}=3$，$x_{2}=1$，$k=6$。

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