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第18頁

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解：對(duì)于方程$x^2 - 3x - 1 = 0，$這里$a = 1，$$b=-3，$$c=-1，$根據(jù)韋達(dá)定理可得，兩根之和$x_1 + x_2=-\frac{a}=-\frac{-3}{1}=3，$兩根之積$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1。$
解：將方程$2x^2 + 3x = 5$化為一般形式為$2x^2 + 3x - 5 = 0，$其中$a = 2，$$b = 3，$$c=-5，$由韋達(dá)定理可知，兩根之和$x_1 + x_2=-\frac{a}=-\frac{3}{2}，$兩根之積$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{2}。$
解：方程$\frac{1}{3}x^2 - 2x = 0$的一般形式為$\frac{1}{3}x^2 - 2x + 0 = 0，$這里$a=\frac{1}{3}，$$b=-2，$$c = 0，$根據(jù)韋達(dá)定理，兩根之和$x_1 + x_2=-\frac{a}=-\frac{-2}{\frac{1}{3}}=6，$兩根之積$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{0}{\frac{1}{3}}=0。$
解：設(shè)方程的另一個(gè)根為$x_1，$根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于方程$x^2 + mx - 1 = 0，$有$\sqrt{2} + x_1 = -m，$$\sqrt{2}x_1 = -1。$
由$\sqrt{2}x_1 = -1，$解得$x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}。$
將$x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$代入$\sqrt{2} + x_1 = -m，$可得$\sqrt{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -m，$即$\frac{\sqrt{2}}{2} = -m，$解得$m = -\frac{\sqrt{2}}{2}。$
所以，方程的另一個(gè)根是$-\frac{\sqrt{2}}{2}，$$m$的值是$-\frac{\sqrt{2}}{2}。$
解：
∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
∴判別式$\Delta = b^2 - 4ac = [2(m - 2)]^2 - 4 \times 1 \times (m^2 + 4) = 4(m^2 - 4m + 4) - 4m^2 - 16 = 4m^2 - 16m + 16 - 4m^2 - 16 = -16m \geq 0$
∴$m \leq 0$
設(shè)方程兩根分別為$x_1，$$x_2，$根據(jù)韋達(dá)定理可得：
$x_1 + x_2 = -2(m - 2)，$$x_1x_2 = m^2 + 4$
兩根的平方和為：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = [-2(m - 2)]^2 - 2(m^2 + 4) = 4(m^2 - 4m + 4) - 2m^2 - 8 = 4m^2 - 16m + 16 - 2m^2 - 8 = 2m^2 - 16m + 8$
已知兩根的平方和比兩根的積大21，可得：
$2m^2 - 16m + 8 - (m^2 + 4) = 21$
化簡得：$m^2 - 16m - 17 = 0$
解方程$m^2 - 16m - 17 = 0，$因式分解得$(m - 17)(m + 1) = 0，$解得$m_1 = 17，$$m_2 = -1$
∵$m \leq 0，$
∴$m = -1$
【答案】：
解：$(1)x_1+x_2=3，$$x_1x_2=-1$
$ (2)2x^2+3x-5=0$
$ x_1+x_2=-\frac 32，$$x_1x_2=-\frac 52$
$ (3)x_1+x_2=6，$$x_1x_2=0$


【解析】：
（1）對(duì)于方程$x^{2}-3x - 1=0$，$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-1$；
（2）方程$2x^{2}+3x = 5$化為一般式為$2x^{2}+3x - 5=0$，$x_{1}+x_{2}=-\frac{3}{2}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{5}{2}$；
（3）對(duì)于方程$\frac{1}{3}x^{2}-2x = 0$，$x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=0$。
【答案】：
解：設(shè)另一根為$x_1，$則$\sqrt {2}+x_1=-m，$$\sqrt {2}x_1=-1$
得$x_1=-\frac {\sqrt {2}}2，$$m=-\frac {\sqrt {2}}2$

【解析】：
設(shè)方程的另一個(gè)根為$x_1$。
由根與系數(shù)的關(guān)系得：
$\sqrt{2} + x_1 = -m$，$\sqrt{2} \cdot x_1 = -1$。
由$\sqrt{2} \cdot x_1 = -1$，解得$x_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
將$x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$代入$\sqrt{2} + x_1 = -m$，得$\sqrt{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -m$，即$\frac{\sqrt{2}}{2} = -m$，解得$m = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
方程的另一個(gè)根是$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$m$的值是$-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】：
解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
∴$b^2-4ac=4(m-2)^2-4(\ \mathrm {m^2}+4)=-16m≥0$
∴m≤0
設(shè)方程兩根分別為$x_1，$$x_2$
則$x_1+x_2=-2(m-2)，$$x_1x_2=\ \mathrm {m^2}+4$
$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4(m-2)^2-2(\ \mathrm {m^2}+4)=2\ \mathrm {m^2}-16m+8$
∴$2\ \mathrm {m^2}-16m+8-(\ \mathrm {m^2}+4)=21$
即$\ \mathrm {m^2}-16m-17=0$
解得$m_1=17，$$m_2=-1$
∵m≤0，
∴m=-1

【解析】：
解：設(shè)方程的兩根為$x_1$，$x_2$。
由韋達(dá)定理得：
$x_1 + x_2 = -2(m - 2)$，$x_1x_2 = m^2 + 4$。
已知$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 21$，
$\because x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 21$。
代入得：$[-2(m - 2)]^2 - 3(m^2 + 4) = 21$，
化簡：$4(m^2 - 4m + 4) - 3m^2 - 12 = 21$，
$4m^2 - 16m + 16 - 3m^2 - 12 - 21 = 0$，
$m^2 - 16m - 17 = 0$，
解得$m_1 = 17$，$m_2 = -1$。
方程有兩實(shí)根，$\Delta = [2(m - 2)]^2 - 4(m^2 + 4) \geq 0$，
$4(m^2 - 4m + 4) - 4m^2 - 16 \geq 0$，
$-16m \geq 0$，$m \leq 0$。
$\because 17 ＞ 0$（舍去），$-1 \leq 0$，
$\therefore m = -1$。
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