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電子課本網(wǎng) 第116頁(yè)

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(1)解:在 $\triangle BDC$ 中,因?yàn)?$BD = BC,$$\angle ABC = 80^\circ,$所以 $\angle BDC = \angle BCD = \frac{180^\circ - \angle DBC}{2} = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ。$在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 40^\circ,$$\angle ABC = 80^\circ,$所以 $\angle ACB = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ = 60^\circ。$因?yàn)?$CE = BC,$所以 $\triangle BCE$ 中,$BC = CE,$$\angle BCE = 60^\circ,$因此 $\triangle BCE$ 是等邊三角形,所以 $\angle BEC = 60^\circ。$因?yàn)?$\angle BEC$ 是 $\triangle ABE$ 的外角,所以 $\angle ABE = \angle BEC - \angle A = 60^\circ - 40^\circ = 20^\circ。$
(2)解:$\angle BEC + \angle BDC = 110^\circ。$理由如下:設(shè) $\angle ABC = \alpha^\circ,$在 $\triangle BDC$ 中,$BD = BC,$所以 $\angle BDC = \frac{180^\circ - \alpha}{2}。$在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 180^\circ - 40^\circ - \alpha = (140 - \alpha)^\circ。$在 $\triangle BEC$ 中,$CE = BC,$所以 $\angle BEC = \frac{180^\circ - \angle BCE}{2} = \frac{180^\circ - (140^\circ - \alpha)}{2} = \frac{40^\circ + \alpha}{2}。$因此 $\angle BEC + \angle BDC = \frac{40^\circ + \alpha}{2} + \frac{180^\circ - \alpha}{2} = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ。$
(1)解:因?yàn)?$BM$、$CM$ 分別平分 $\angle ABC$、$\angle ACB,$所以 $\angle MBC = \frac{1}{2}\angle ABC,$$\angle MCB = \frac{1}{2}\angle ACB。$在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 70^\circ,$所以 $\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ,$因此 $\angle MBC + \angle MCB = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = 55^\circ。$在 $\triangle BMC$ 中,$\angle BMC = 180^\circ - (\angle MBC + \angle MCB) = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ。$
(2)解:因?yàn)?$DE // BC,$所以 $\angle DMB = \angle MBC$(內(nèi)錯(cuò)角相等)。又因?yàn)?$\angle MBC = \angle DBM$($BM$ 平分 $\angle ABC$),所以 $\angle DMB = \angle DBM,$因此 $DM = DB$(等角對(duì)等邊)。同理,$\angle EMC = \angle ECM,$所以 $EM = EC。$因此 $\triangle ADE$ 的周長(zhǎng) $= AD + DE + AE = AD + DM + EM + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC。$因?yàn)?$\triangle ABC$ 的周長(zhǎng)為 $m,$$BC = a,$所以 $AB + AC = m - a,$即 $\triangle ADE$ 的周長(zhǎng)為 $m - a。$
$ (1)如圖所示$
(2)解:$\triangle BDE$ 是等腰三角形,$\angle ABC = 22.5^\circ。$理由如下:因?yàn)?$\triangle ADE$ 是 $\triangle ABC$ 繞點(diǎn) $A$ 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) $90^\circ$ 得到的,所以 $\triangle ADE \cong \triangle ABC,$因此 $AB = AD,$$BC = DE,$$\angle ABC = \angle ADE,$$\angle BAD = 90^\circ,$所以 $\triangle ABD$ 是等腰直角三角形,$\angle ABD = 45^\circ。$因?yàn)?$\angle ADE + \angle DEA = 90^\circ,$所以 $\angle ABC + \angle DEA = 90^\circ,$即 $BF \perp DE$($F$ 為 $BC$ 延長(zhǎng)線與 $DE$ 的交點(diǎn))。因?yàn)?$BC = 2EF,$$DE = BC,$所以 $DE = 2EF,$即 $F$ 為 $DE$ 中點(diǎn),因此 $BF$ 垂直平分 $DE,$所以 $BD = BE$(垂直平分線上的點(diǎn)到兩端距離相等),即 $\triangle BDE$ 是等腰三角形。在 $\triangle BDE$ 中,$BD = BE,$$\angle DBE = 45^\circ,$所以 $\angle BDE = \frac{180^\circ - 45^\circ}{2} = 67.5^\circ。$因?yàn)?$\angle ADB = 45^\circ,$所以 $\angle ADE = \angle BDE - \angle ADB = 67.5^\circ - 45^\circ = 22.5^\circ,$因此 $\angle ABC = \angle ADE = 22.5^\circ。$