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第115頁(yè)

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$\triangle ABD$ 是等邊三角形。證明：因?yàn)?$AE$ 的垂直平分線交 $BE$ 于點(diǎn) $C，$所以 $CA = CE，$因此 $\angle CAE = \angle E = 15^\circ。$所以 $\angle ACB = \angle CAE + \angle E = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ。$在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^\circ，$所以 $\angle BAC = 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ。$因?yàn)樵?$Rt\triangle ABC$ 中，$D$ 為 $AC$ 的中點(diǎn)，所以 $DA = DB$（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），因此 $\triangle ABD$ 是等邊三角形（有一個(gè)角是 $60^\circ$ 的等腰三角形是等邊三角形）。
證明：在 $\triangle APD$ 中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，$AD + AP ＞ PD。$因?yàn)?$PQ = AD，$所以 $PQ + AP ＞ PD，$即 $AQ ＞ PD。$因?yàn)辄c(diǎn) $Q$ 在 $\triangle ABC$ 的邊 $AB$ 上，且 $\triangle ABC$ 是等邊三角形，所以 $\angle A = 60^\circ，$$\angle ACQ ＜ 60^\circ$（點(diǎn) $Q$ 不與 $A$、$B$ 重合）。在 $\triangle AQC$ 中，因?yàn)?$\angle A = 60^\circ ＞ \angle ACQ，$所以 $CQ ＞ AQ$（大角對(duì)大邊），因此 $CQ ＞ PD。$
解：因?yàn)?$AX \perp AC，$$\angle C = 90^\circ，$所以 $\angle C = \angle QAP = 90^\circ，$即點(diǎn) $C$ 與點(diǎn) $A$ 是對(duì)應(yīng)點(diǎn)。當(dāng) $\triangle ABC \cong \triangle APQ$ 時(shí)，分兩種情況：
① 若 $\triangle CAB \cong \triangle APQ，$則 $AP = CA = 10，$此時(shí)點(diǎn) $P$ 與點(diǎn) $C$ 重合；
② 若 $\triangle CAB \cong \triangle AQP，$則 $AP = CB = 5，$此時(shí)點(diǎn) $P$ 為 $AC$ 中點(diǎn)（因?yàn)?$AC = 10，$所以 $AP = 5$ 時(shí) $P$ 為中點(diǎn)）。
綜上，點(diǎn) $P$ 與點(diǎn) $C$ 重合或?yàn)?$AC$ 中點(diǎn)。
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