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第114頁

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3＜x＜13
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（1）證明：因為 $AB // DE，$所以 $\angle A = \angle D。$同理，因為 $AC // EF，$所以 $\angle ACB = \angle DFE。$又因為 $BF = DC，$所以 $BF + FC = DC + FC，$即 $BC = DF。$在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle EDF$ 中，$\begin{cases} \angle A = \angle D \\ \angle ACB = \angle DFE \\ BC = DF \end{cases}，$所以 $\triangle ABC \cong \triangle EDF$（AAS）。
（2）解：作 $EP \perp BD，$垂足為點 $P。$因為 $\triangle ABC \cong \triangle EDF，$所以 $EF = AC = 6。$由（1）知 $\angle ACB = \angle DFE，$又 $\angle ACB = 30^\circ，$所以 $\angle DFE = 30^\circ。$在 $Rt\triangle FEP$ 中，$\angle DFE = 30^\circ，$所以 $EP = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2} \times 6 = 3，$即點 $E$ 到 $BD$ 的距離為 $3。$
【答案】：
13

【解析】：

∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE=BE。
∵BC=7，AC=6，
∴△AEC的周長=AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=7+6=13。
13
【答案】：
6

【解析】：
在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則∠ABC=60°。
BD是∠ABC的角平分線，所以∠CBD=∠ABD=30°。
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，BD=4，
則CD=BD·sin30°=4×$\frac{1}{2}$=2，
BC=BD·cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$。
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2$\sqrt{3}$，
則AB=2BC=4$\sqrt{3}$，
AC=$\sqrt{AB^2 - BC^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2}$=$\sqrt{48 - 12}$=$\sqrt{36}$=6。
6
【答案】：
4

【解析】：

∵AD是△ABC的中線，△ABC的面積是16
∴S△ABD = $\frac{1}{2}$S△ABC = 8
∵E是AD的中點
∴S△EBD = $\frac{1}{2}$S△ABD = 4
設(shè)點E到BC的距離是h
∵BC=4，D是BC中點
∴BD=2
∵S△EBD = $\frac{1}{2}$×BD×h
∴4 = $\frac{1}{2}$×2×h
解得h=4
4
【答案】：
30

【解析】：
過點D作DE⊥AB交BA延長線于點E。
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=4。
S△BCD=$\frac{1}{2}$×BC×CD=$\frac{1}{2}$×9×4=18。
S△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DE=$\frac{1}{2}$×6×4=12。
S四邊形ABCD=S△BCD+S△ABD=18+12=30。
30
【答案】：
9

【解析】：
作點A關(guān)于BC的對稱點A'，連接A'D，A'B。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=9，
則∠BAC=60°，AC=BC·tan30°=9×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=3$\sqrt{3}$，
AB=2AC=6$\sqrt{3}$。
因為點A與A'關(guān)于BC對稱，
所以A'C=AC=3$\sqrt{3}$，∠A'CB=∠ACB=90°，
則∠A'CB+∠ACB=180°，即A、C、A'三點共線，AA'=2AC=6$\sqrt{3}$。
AP+PD=A'P+PD≥A'D（當且僅當A'、P、D三點共線時取等號）。
要使AP+PD最小，需A'D最小，此時A'D⊥AB。
在Rt△AA'D中，∠A'AD=60°，
A'D=AA'·sin60°=6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=9。
故AP+PD的最小值是9。
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