要計算$S_{2024}，$我們先分析四邊形$A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$的面積規(guī)律。
步驟1：確定點的坐標及線段長度
對于直線$l_n$（垂足為$(n,0)$）：
函數(shù)$y=x$與$l_n$交于點$A_n，$則$A_n$的坐標為$(n,n)，$故$A_nB_n$的長度為$2n - n = n$（因為$B_n$是$y=2x$與$l_n$的交點，坐標為$(n,2n)$）。
同理，$A_{n-1}B_{n-1}$的長度為$n-1。$
步驟2：判斷四邊形形狀并計算面積
由于直線$l_n$與$l_{n-1}$均垂直于$x$軸，故$l_n // l_{n-1}，$且兩直線間的距離為$1$（橫坐標差為$1$）。
因此，四邊形$A_{n-1}A_nB_nB_{n-1}$是梯形，其上下底分別為$A_{n-1}B_{n-1}=n-1$和$A_nB_n=n，$高為兩直線間的距離$1。$
步驟3：推導面積公式
梯形面積公式為$S_n = \frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高}，$代入得：
$S_n = \frac{1}{2} \times [(n-1) + n] \times 1 = n - \frac{1}{2}$
步驟4：計算$S_{2024}$
將$n=2024$代入公式：
$S_{2024} = 2024 - \frac{1}{2} = 2023.5$
答案：$\boxed{2023.5}$
