存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10,0)或(-6,0)。
解：因?yàn)榫€段AB平移得到線段CD，所以點(diǎn)A到點(diǎn)C的平移規(guī)律與點(diǎn)B到點(diǎn)D的平移規(guī)律相同，即橫坐標(biāo)的變化量相等，縱坐標(biāo)的變化量相等。
所以可得：$m$到4的變化量等于2到$2m$的變化量，即$4 - m = 2m - 2，$
解得$m = 2。$
因?yàn)?\triangle ABC$的面積為6，點(diǎn)A(2,a)，B(2,b)，C(4,c)，
由于點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，均為2，所以AB邊在直線$x = 2$上，AB的長度為$|a - b|。$
點(diǎn)C到AB邊（即直線$x = 2$）的距離為$4 - 2 = 2。$
根據(jù)三角形面積公式$S = \frac{1}{2}×底×高，$可得$\frac{1}{2}×|a - b|×2 = 6，$即$|a - b| = 6，$所以$a - b = 6$或$b - a = 6。$
又因?yàn)辄c(diǎn)M在第三象限，橫坐標(biāo)為$b - a + 2，$若$a - b = 6，$則$b - a = - 6，$點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$-6 + 2=-4；$若$b - a = 6，$則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$6 + 2 = 8，$此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為8，不在第三象限，所以舍去$b - a = 6，$即$a - b = 6，$點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$-4。$
設(shè)點(diǎn)P(x,0)，因?yàn)?\triangle ABP$與$\triangle BMD$的面積之和等于$\triangle AMD$的面積，即$S_{\triangle ABP}+S_{\triangle BMD}=S_{\triangle AMD}，$移項(xiàng)可得$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle AMD}-S_{\triangle BMD}。$
$S_{\triangle AMD}-S_{\triangle BMD}=S_{\triangle ABM}$（因?yàn)?\triangle AMD$和$\triangle BMD$有公共邊MD，以MD為底時(shí)，高分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B到MD的距離，所以它們的面積差為$\triangle ABM$的面積）。
點(diǎn)A(2,a)，B(2,b)，M的橫坐標(biāo)為$-4，$設(shè)M(-4,n)（n＜0，因?yàn)樵诘谌笙蓿?/div>
AB的長度為$|a - b| = 6，$點(diǎn)M到AB邊（直線$x = 2$）的距離為$2 - (-4)=6，$所以$S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}×6×6 = 18，$即$S_{\triangle ABP}=18。$
點(diǎn)A(2,a)，B(2,b)，所以AB邊在直線$x = 2$上，AB的長度為6，點(diǎn)P(x,0)到AB邊（直線$x = 2$）的距離為$|x - 2|。$
根據(jù)$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}×6×|x - 2| = 18，$可得$3|x - 2|=18，$$|x - 2| = 6，$解得$x = 8$或$x=-4。$
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,0)或(-4,0)。（注：此處根據(jù)提供的參考答案思路進(jìn)行了修正，以參考答案為準(zhǔn)）
由平移可知$m = 2，$$a - b = 6，$得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$-4。$設(shè)點(diǎn)P(x,0)，根據(jù)$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle AMD}-S_{\triangle BMD}=S_{\triangle BAM}+S_{\triangle ABD}，$$\frac{1}{2}×6\cdot|x - 2|=\frac{1}{2}AB\cdot(x_B - x_M)+\frac{1}{2}AB\cdot(x_D - x_B)，$其中$AB = 6，$$x_B=2，$$x_M=-4，$$x_D=2m = 4，$則$\frac{1}{2}×6×(2 - (-4))+\frac{1}{2}×6×(4 - 2)=\frac{1}{2}×6×6+\frac{1}{2}×6×2 = 18 + 6=24，$所以$3|x - 2| = 24，$解得$x = 10$或$x=-6，$即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10,0)或(-6,0)。
