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第65頁

信息發(fā)布者：
$\frac{5}{2}$
4
過點(diǎn)$ B $作$ BD \perp AC ，$垂足為$ D ，$則$ \angle BDA = \angle BDC = 90^\circ 。$設(shè)$ AD = x ，$則$ CD = 12 - x 。$
在$ \text{Rt}\triangle ABD $和$ \text{Rt}\triangle CBD $中，由勾股定理，得$ BD^2 = AB^2 - AD^2 = BC^2 - CD^2 ，$即$ 11^2 - x^2 = 7^2 - (12 - x)^2 。$
展開方程：$ 121 - x^2 = 49 - (144 - 24x + x^2) $
化簡得：$ 121 - x^2 = 49 - 144 + 24x - x^2 $
移項合并同類項：$ 121 - 49 + 144 = 24x $
計算得：$ 216 = 24x ，$解得$ x = 9 $
所以$ AD = 9 $
則$ BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{11^2 - 9^2} = \sqrt{121 - 81} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} $
因此$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2} \times 12 \times 2\sqrt{10} = 12\sqrt{10} $
即$ \triangle ABC $的面積為$ 12\sqrt{10} $

（1）證明：
∵ $AB = AC，$$P$ 是邊 $BC$ 的中點(diǎn)，
∴ $AP \perp BC，$$BP = PC。$
在 $Rt\triangle ABP$ 中，由勾股定理得：
$AB^2 = AP^2 + BP^2，$
∴ $AB^2 - AP^2 = BP^2。$
又
∵ $BP = PC，$
∴ $BP \cdot CP = BP^2，$
∴ $BP \cdot CP = AB^2 - AP^2。$
（2）結(jié)論成立。證明如下：
過點(diǎn) $A$ 作 $AM \perp BC，$垂足為 $M，$
∵ $AB = AC，$
∴ $BM = CM。$
在 $Rt\triangle ABM$ 和 $Rt\triangle APM$ 中，由勾股定理得：
$AB^2 = AM^2 + BM^2，$$AP^2 = AM^2 + MP^2，$
∴ $AB^2 - AP^2 = BM^2 - MP^2。$
由平方差公式得：
$BM^2 - MP^2 = (BM + MP)(BM - MP)。$
∵ $BM = CM，$
∴ $BM + MP = CM + PM = CP，$$BM - MP = BP，$
∴ $AB^2 - AP^2 = BP \cdot CP。$

$1 + x^{2}$
$1+(1 - x)^{2}$
AP
DP
$解：(2) 作點(diǎn) A 關(guān)于直線 BC 的對稱點(diǎn) A',$
$連接 PA',連接 DA'交 BC 于點(diǎn) P',$
$如圖.由點(diǎn) A,A'關(guān)于直線 BC 對稱可得,AP=A'P,$
$∴ AP+DP=A'P+DP.$
$根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知,當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) P'重合時,$
$AP+DP=A'D,此時 AP+DP 最小.$
$∵ A'B=AB=1,∴ AA'=2,$
$∴A'D=\sqrt{AA'^{2}+AD^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}.$
$∴ 當(dāng) 0＜x＜1 時,\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+(1-x)^{2}}的最小值為\sqrt{5}$

【答案】：
$\frac{5}{2}$

【解析】：
以點(diǎn)$A$為原點(diǎn)，$AB$所在直線為$x$軸，$AD$所在直線為$y$軸建立平面直角坐標(biāo)系。
因為正方形$ABCD$的面積為$16$，所以邊長為$4$，則$A(0,0)$，$B(4,0)$，$CD$邊所在直線為$y=4$。
設(shè)點(diǎn)$P(x,y)$，點(diǎn)$P$到$CD$的距離為$d$，則$4 - y = d$，即$y = 4 - d$。
點(diǎn)$P$到$A$，$B$的距離都是$d$，所以$\sqrt{x^2 + y^2} = d$，$\sqrt{(x - 4)^2 + y^2} = d$。
聯(lián)立得$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + y^2}$，兩邊平方化簡得$x = 2$。
將$x = 2$，$y = 4 - d$代入$\sqrt{x^2 + y^2} = d$，得$\sqrt{2^2 + (4 - d)^2} = d$，兩邊平方：$4 + (4 - d)^2 = d^2$，展開得$4 + 16 - 8d + d^2 = d^2$，解得$d = \frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$
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