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 (1)因?yàn)?AC = \frac{1}{3}AD，$所以$CD = AD - AC = AD - \frac{1}{3}AD = \frac{2}{3}AD。$

 因?yàn)?CD = 4，$所以$\frac{2}{3}AD = 4，$解得$AD = 6。$

 因?yàn)?D$是線段$AB$的中點(diǎn)，所以$AB = 2AD = 2\times6 = 12。$

 (2)因?yàn)?OD$是$\angle AOC$的平分線，且$\angle AOD = 14^\circ，$所以$\angle COD = \angle AOD = 14^\circ，$$\angle AOC = 2\angle AOD = 28^\circ。$

 因?yàn)?O$是直線$AB$上的一點(diǎn)，所以$\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ，$則$\angle BOC = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ。$

 因?yàn)?OE$是$\angle COB$的平分線，所以$\angle BOE = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2}\times152^\circ = 76^\circ。$

 因此，$\angle DOE = \angle COD + \angle COE = 14^\circ + 76^\circ = 90^\circ。$

 綜上，$\angle DOE = 90^\circ，$$\angle BOE = 76^\circ。$

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$\frac{45}{2}$

【答案】：
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【解析】：
過(guò)點(diǎn)E作EF//AB，
因?yàn)锳B//CD，所以EF//CD，
所以∠ABE+∠BEF=180°，∠CDE+∠DEF=180°，
所以∠ABE+∠BEF+∠CDE+∠DEF=360°，
即∠B+∠E+∠D=360°，
因?yàn)椤螪=60°，所以∠B+∠E=300°，
因?yàn)椤螧是∠E的5系補(bǔ)周角，所以∠E+5∠B=360°，
聯(lián)立得：$\begin{cases}∠B + ∠E = 300° \\ ∠E + 5∠B = 360°\end{cases}$，
解得∠E=290°（舍去），
過(guò)點(diǎn)E作EF//AB交BC于F，
因?yàn)锳B//CD，所以EF//CD，
所以∠BEF=∠B，∠DEF=∠D，
所以∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D，
即∠B=∠E-∠D，
因?yàn)椤螪=60°，所以∠B=∠E-60°，
因?yàn)椤螧是∠E的5系補(bǔ)周角，所以∠E+5∠B=360°，
所以∠E+5(∠E-60°)=360°，
6∠E=660°，
∠E=110°。
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(1)如圖，點(diǎn)M即為所求。
(2)如圖，S四邊形ABPM = 6×6 - $\frac{1}{2}$×6×2 - $\frac{1}{2}$×4×3 - $\frac{1}{2}$×1×3 = $\frac{45}{2}$。
(3)如圖，點(diǎn)N即為所求

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