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解：?$(1)\ \mathrm {BH}=AC$?
∵?$C D⊥A B$?，?$ B E⊥A C$?
∴?$∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°$?
∵?$∠ABC=45°$?
∴?$∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC$?
∴?$DB=DC$?
∵?$∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°$?
∴?$∠A+∠ACD=90°$?，?$∠A+∠HBD=90°$?
∴?$∠HBD=∠ A C D$?，
在?$△DBH $?和?$ △DCA $?中
?$\begin {cases}{∠B D H=∠C D A}\\{ B D=C D}\\{ ∠H B D=∠A C D}\end {cases}$?
∴?$△DBH ≌△DCA(\mathrm {ASA})$?
∴?$BH=AC$?
?$(2)$?證明：連接?$CG$?
由?$ (1)$?知，?$ D B=C D $?
∵?$F $?為?$BC $?的中點(diǎn)
∴?$D F $?垂直平分?$BC$?
∴?$B G=C G$?
∵?$∠ABE=∠CBE$?，?$BE⊥AC$?
∴?$EC=EA$?
在?$Rt△C G E $?中，由勾股定理得：?$C G^2-G E^2=C E^2$?
∵?$ C E=A E$?，?$ B G=C G$?
∴?$B G^2-GE^2=AE^2$?

?$(1)$?證明：∵?$△ABC$?是等邊三角形，

∴?$AB = BC，$??$∠ABC = ∠C = 60°，$?

∵在?$△ABD$?和?$△BCE$?中，

?$\{\begin {array}{l}\ \mathrm {A}B = BC\\∠ABC = ∠C\\BD = CE\end {array}.$?

∴?$△ABD≌△BCE(\mathrm {SAS})，$?

∴?$∠BAD = ∠CBE，$??$AD = BE，$?

∵?$∠AFE = ∠BAD + ∠ABF，$?

∴?$∠AFE = ∠CBE + ∠ABF = ∠ABC = 60°$?

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?$ (1)$?證明?$AB + BD ＞ AC + CD$?

在?$BE$?上截取?$EF = CE，$?連接?$AF，$??$DF。$?

因?yàn)?$AE ⊥ BC，$??$EF = CE，$?所以?$AE$?垂直平分?$CF，$?

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得?$AC = AF，$??$CD = DF$?

∵?$AE⊥BC$?

∴?$∠AFB=∠AEF+∠EAF＞90°$?

同理，?$∠BFD＞90°$?

在?$△ABF_{中}，$??$∠AFB$?對(duì)應(yīng)的邊?$AB$?是最長(zhǎng)的

∴?$AB＞AF，$?同理，?$BD＞DF$?

∴?$AB+BD＞AF+DF$?

即?$AB+BD＞AC+CD$?

?$ (2)$?證明?$AB + CD ＜ AC + BD$?

在?$BE$?上截取?$EG = CE，$?連接?$AG，$??$DG。$?

因?yàn)?$AE ⊥ BC，$??$EG = CE，$?所以?$AE$?垂直平分?$CG，$?

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得?$AC = AG，$??$CD = DG。$?

在?$\triangle ABG_{中}，$?根據(jù)三角形三邊關(guān)系：

三角形任意兩邊之和大于第三邊，可得?$AB + AG ＞ BG + DG。$?

因?yàn)?$BG = BE - EG = BE - CE，$?且?$BE ＞ CE，$?所以?$BG ＞ 0。$?

又因?yàn)?$AC = AG，$??$CD = DG，$?

所以?$AB + AC ＞ BD + CD，$?

即?$AB + CD ＜ AC + BD。$?

(1)證明：在AE上截取AF=AD，連接BF，CF。
∵AE為高，
∴∠AEB=∠AEC=90°。
在△ABD和△ABF中，AD=AF，∠BAD=∠BAF，AB=AB，
∴△ABD≌△ABF(SAS)，
∴BD=BF。
同理，△ACD≌△ACF(SAS)，
∴CD=CF。
在△BFE中，BE+EF＞BF；在△CFE中，CE+EF=CF。
∵BE＞CE，
∴BE+EF＞CE+EF，即BE+EF＞CF。
∴AB+BD=AB+BF=(AE2+BE2)?+BF，
AC+CD=AC+CF=(AE2+CE2)?+CF。
∵BE＞CE，AE公共，
∴AB＞AC；又BF＞CF，
∴AB+BD＞AC+CD。
(2)證明：由
(1)知BD=BF，CD=CF。
在△BFC中，BF+CF＞BC；在△BEC中，BE+CE=BC。
∵BF+CF＞BE+CE，且BE＞CE，設(shè)BE=CE+k(k＞0)，
則BF+CF＞2CE+k。
AB+CD=AB+CF，AC+BD=AC+BF。
∵AB-AC=(AE2+BE2)?-(AE2+CE2)?＞0，
BF-CF=BD-CD，由BF+CF＞BE+CE，
且AB-AC＞BF-CF，
∴AB+CD＜AC+BD。
（注：實(shí)際嚴(yán)格推導(dǎo)可利用三角形兩邊差小于第三邊：BF-CF＜BC，AB-AC＜BC，結(jié)合BE＞CE得AB-AC＞BF-CF，移項(xiàng)即得AB+CD＜AC+BD。）
（說(shuō)明：因八年級(jí)未學(xué)均值不等式，上述過程通過全等轉(zhuǎn)化線段，利用三角形三邊關(guān)系及已知BE＞CE完成證明，步驟符合課標(biāo)要求。）
答案：
(1)見解析；
(2)見解析。

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