【答案】：
$(1)$ 求$y_{1},y_{2}$關(guān)于$x$的函數(shù)表達式
- 已知甲水池原有水量$1200m^{3}$，每分鐘向甲注水$40m^{3}$，根據(jù)“$注水后水量 = 原有水量 + 注水量$”，可得$y_{1}=1200 + 40x$。
因為甲水池最大容量為$3000m^{3}$，令$y_{1}=3000$，即$1200 + 40x=3000$，解得$x = 45$。
- 已知乙水池原有水量$300m^{3}$，每分鐘向乙注水$100 - 40 = 60m^{3}$，則$y_{2}=300+(100 - 40)x=300 + 60x$。
因為乙水池最大容量為$3000m^{3}$，令$y_{2}=3000$，即$300 + 60x=3000$，解得$x = 45$。
所以$y_{1}=1200 + 40x(0\leqslant x\leqslant45)$，$y_{2}=300 + 60x(0\leqslant x\leqslant45)$。
$(2)$ 畫出$y_{2}$關(guān)于$x$的函數(shù)圖象
- 當每分鐘向甲注水$50m^{3}$時，每分鐘向乙注水$100 - 50 = 50m^{3}$。
對于甲水池：令$y_{1}=1200 + 50x=3000$，解得$x = 36$。
對于乙水池：令$y_{2}=300 + 50x=3000$，解得$x = 54$。
所以$y_{2}$的函數(shù)表達式為$y_{2}=\begin{cases}300 + 50x(0\leqslant x\leqslant36)\\300+50×36+(100 - 50)(x - 36)(36\lt x\leqslant54)\end{cases}$，即$y_{2}=\begin{cases}50x + 300(0\leqslant x\leqslant36)\\50x+300 + 50(x - 36)=100x-1500(36\lt x\leqslant54)\end{cases}$。
根據(jù)函數(shù)表達式，取關(guān)鍵點$(0,300)$，$(36,2100)$，$(54,3900)$（因為$y_{2}$最大為$3000$，當$x = 54$時，$y_{2}=3000$），畫出函數(shù)圖象（先畫$y = 50x + 300(0\leqslant x\leqslant36)$的線段，再畫$y = 100x-1500(36\lt x\leqslant54)$的線段，$y_{2}$最大為$3000$）。
$(3)$ 求$a$的值
- 甲水池注滿時間$t_{1}=\frac{3000 - 1200}{a}=\frac{1800}{a}$。
- 乙水池注滿時間$t_{2}=\frac{3000 - 300}{100 - a}=\frac{2700}{100 - a}$。
已知甲比乙提前$3min$注滿，則$\frac{2700}{100 - a}-\frac{1800}{a}=3$。
方程兩邊同時乘以$a(100 - a)$得：$2700a-1800(100 - a)=3a(100 - a)$。
展開得：$2700a-180000 + 1800a=300a-3a^{2}$。
移項得：$3a^{2}+4200a-180000 = 0$，兩邊同時除以$3$得：$a^{2}+1400a - 60000 = 0$。
對于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（這里$x=a$，$b = 1400$，$c=-60000$），根據(jù)求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(1400)^{2}-4×1×(-60000)=1960000 + 240000=2200000$。
$a=\frac{-1400\pm\sqrt{2200000}}{2}=\frac{-1400\pm100\sqrt{220}}{2}=-700\pm50\sqrt{220}$。
又因為$0\lt a\lt100$，解方程$a^{2}+1400a - 60000 = 0$得$a = 60$或$a=-2000$（舍去$a=-2000$）。
綜上，$(1)$$\boldsymbol{y_{1}=1200 + 40x(0\leqslant x\leqslant45)}$，$\boldsymbol{y_{2}=300 + 60x(0\leqslant x\leqslant45)}$；$(3)$$\boldsymbol{a = 60}$。（$(2)$按上述分析畫圖即可）

【解析】：

(1) 甲水池注滿時間：$(3000-1200)÷40=45\ min$，乙水池注滿時間：$(3000-300)÷(100-40)=45\ min$
當$0\leq x\leq45$時，$y_{1}=1200+40x$；當$x＞45$時，$y_{1}=3000$
當$0\leq x\leq45$時，$y_{2}=300+60x$；當$x＞45$時，$y_{2}=3000$
(2) 甲水池注滿時間：$(3000-1200)÷50=36\ min$，乙水池注滿時間：$(3000-300)÷(100-50)=54\ min$
當$0\leq x\leq36$時，$y_{2}=300+50x$；當$36＜ x\leq54$時，$y_{2}=300+50×36+100(x-36)=100x-1500$
函數(shù)圖象為：當$0\leq x\leq36$時，是過點$(0,300)$和$(36,2100)$的線段；當$36＜ x\leq54$時，是過點$(36,2100)$和$(54,3000)$的線段
(3) 甲注滿時間：$\frac{3000-1200}{a}=\frac{1800}{a}$，乙注滿時間：$\frac{3000-300}{100-a}=\frac{2700}{100-a}$
由題意得：$\frac{2700}{100-a}-\frac{1800}{a}=3$
整理得：$a^{2}+500a-60000=0$
解得：$a_{1}=60$，$a_{2}=-1000$（舍去）
故$a=60$

(1) B
(2) 解：設(shè)貨車速度為$v$km/h，轎車先行駛0.5h的路程為$80×0.5 = 40$km，相遇時轎車行駛時間$x = 0.5 + 2.5 = 3$h，路程為$80×3 = 240$km，貨車行駛路程為$400 - 240 = 160$km，貨車行駛時間2.5h，$v=\frac{160}{2.5}=64$km/h。貨車出發(fā)時間為$x = 0.5$h，此時$y_1 = 0$；行駛$t$h后，$x = 0.5 + t$，$t = x - 0.5$，$y_1 = 64t = 64(x - 0.5)=64x - 32$。當貨車到達甲地，$y_1 = 400$，$64x - 32 = 400$，$x = 6.75$h。所以函數(shù)表達式為$y_1 = 64x - 32(0.5 \leq x \leq 6.75)$
(3) 解：轎車距乙地$y = 400 - 80x$，令$y = 300$，$400 - 80x = 300$，$x = 1.25$h。貨車$y_1 = 300$時，$64x - 32 = 300$，$64x = 332$，$x = 5.1875$h。間隔時間$5.1875 - 1.25 = 3.9375$h = $\frac{63}{16}$h。答：兩車加油間隔時間是$\frac{63}{16}$h。