解：(1)根據(jù)“k級(jí)牽掛點(diǎn)”的定義，點(diǎn)$P(-5,1)$的“-3級(jí)牽掛點(diǎn)”$P_1$的坐標(biāo)為：
$P_1(-3\times(-5)+1, -5 - (-3)\times1)$
計(jì)算可得：
$-3\times(-5)+1 = 15 + 1 = 16$
$-5 - (-3)\times1 = -5 + 3 = -2$
所以$P_1$的坐標(biāo)為$(16, -2)。$
點(diǎn)$P_1$到$x$軸的距離為其縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，即$|-2| = 2。$
(2)設(shè)點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)為$(x, y)，$因?yàn)辄c(diǎn)$Q$的“4級(jí)牽掛點(diǎn)”為$Q_1(5, -3)，$根據(jù)定義可列出方程組：
$\begin{cases}4x + y = 5 \\x - 4y = -3\end{cases}$
由第一個(gè)方程$4x + y = 5$可得$y = 5 - 4x，$將其代入第二個(gè)方程$x - 4y = -3$中：
$x - 4(5 - 4x) = -3$
$x - 20 + 16x = -3$
$17x = 17$
解得$x = 1，$將$x = 1$代入$y = 5 - 4x$可得：
$y = 5 - 4\times1 = 1$
所以點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)為$(1, 1)，$位于第一象限。
